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Algorithmics 09 – Entropie de Spins discernables

Written By: Jean-Paul Cipria - Fév• 22•15

En quoi la détermination de l’entropie de spin est reliée aux futurs débits ou mémoires tera ou peta bits/s de télécommunication ? (22/02/2015 à reprendre)

Entropie de Spin

Entropie de Spin

 S_{spin}=k_b.\sum_l{\frac{e^{(-\beta.E_l)}}{F_N}.(\beta.E_l+ln(F_N))}
Entropie d’un ensemble de N spins discernables

Voici un article assez difficile à ingurgiter. Les quatre pages scannées que je commente sont les calculs théoriques de l’entropie d’un ensemble N de spins ou de N particules. Voir les conclusions à la fin de l’article.

Cahier d’agrégation n°7 – Physique statistique quantique – 17/02/2014
Bulletin de l’Union des Physiciens – BUP 834 – Vol 95 – Mai 2001
Agrégation externe de physique 2001 – Composition de physique – Page 15/18.
Environ 154 questions. Réponses aux 6 questions de 6.3.1 à 6.3.4.B.
La réponse à ces 6 questions donne environ 0,5 points sur 20 à faire en 11,5 mn. Top chrono 😉

Leçon de physique.

* : à comparer à cette arnaque d’ADSL à 20 Mbits/s à 20 € par mois.

Entropie et débits (quantité d’informations) en télécommunication

Il est nécessaire de connaître les valeurs théoriques des entropies de spin car, comme nous l’avons vu en entropie des télécommunications, nous pouvons calculer à la fois les énergies des particules en fonction de la température mais aussi la quantité d’informations « contenue » dans celles-ci. Sachant cela, nous pouvons transmettre des particules contenant l’information « SPIN », calculer leurs entropies et déterminer le débit maximum possible ainsi que l’écart type minimum atteignable. Nous avons les exemples de fibres optiques qui atteignent des débits de plus de 1,5 Tbits/s* qui utilisent le moment magnétique du photon, ce qui est, au niveau des unités de la physique, la même chose que le spin. (Voir l’article et le petit calcul sur ce sujet).

Feuille 1

Nombre d’Avogadro

Voir la feuille : Erreur : Il faut décaler le milliard d’un cran vers la droite pour le nombre d’avogadro.

Probabilité p d’énergie d’un Spin

Maintenant que nous avons compris par Maxwell (voir lien ci-dessous) la probabilité des vitesses. Nous utilisons le même raisonnement avec l’énergie correspondante au Spin : E_r . La probabilté de trouver un spin dans cette énergie est donc e^{-\frac{E_r}{k_b.T}} . Sachant que k_b.T est la plus petite énergie thermodynamique qui joue le même rôle, par analogie, au \lambda associé à la vitesse d’une molécule de gaz dans l’exponentielle de Maxwell. Voir http://www.nanotechinnov.com/distribution-des-vitesses-selon-maxwell .

  • Probabilité de trouver un spin à l’énergie spécifiée E_r :
    p_{spin}(E_r)=e^{-\frac{E_r}{k_b.T}}
    .

D’autre part l’énergie d’un Spin, par définition, correspond à celui d’un très petit champ magnétique :

  • E_r(UP)=\mu_B.B_0
    L’autre valeur de spin à une énergie opposée par rapport à une énergie suposée à 0 entre les deux spins (C’est gonflé mais c’est de la physique. Nous mettons le zéro de l’énergie potentielle où nous voulons !)
    E_r(DOWN)=-\mu_B.B_0
    .

Généralités sur l’Entropie

Voir pour les explications générales sur l’entropie :

Fonction de partition F

La fonction de partition joue le rôle de la somme totale des probabilités ou bien par analogie le N nombre de valeurs possibles pour tous les bits de la transmission en télécommunication.

  • F=\sum_r{e^{-\frac{E_r}{k_b.T}}}

Entropie bizarre

Laissez tomber la première formule de S : S=k_B.ln(\Omega)  nous ne savons pas d’où sort le terme \Omega qui est probablement l’espace des évènements … mais cela ne colle pas avec le reste ! Je ne sais pas où j’ai copié cette formule qui est visiblement hors contexte. C’est une erreur ?

J’ai la réponse ! Ceci correspond au cas ou les événement sont équiprobables :

  • S=k_b.\sum_l{P_l.ln(\frac{1}{p_l})}

Si les évènement sont équiprobables alors :

  • p_l=C^{te}

Nous nous retrouvons dans un cas, par exemple voir plus loin :

  • S=k_b.N.ln(2)=k_b.ln(2^N)= Qui signifie 2^N états équiprobables.

En ce cas :

  • \Omega=2^N
    CQFD

Feuille de cours

Physique Statistique Quantique 1

Physique Statistique Quantique 1

Feuille 2

Utilisez la bonne formule de l’entropie

Remarquez l’embrouille avec le trimballage du signe moins et l’inversion de la probabilité dans la formule de l’entropie S. NE PAS UTILISER CETTE FORMULE !!!

Utilisez celle-là :

  • S=k_b.\sum_r{p_r.ln(\frac{1}{p_r})}

Fonction de partition pour N particules

Il y a deux énergies possibles par électron : spin + et spin – (ou Up et Down). Nous multiplions l’état antérieur de N-1 spins par la probabilité d’être, à une particule de plus soit N, à deux énergies de spin possibles. Nous multiplions donc la fonction de partition par la somme des deux probabilités, cela N fois :

  • Fonction de partition F ou somme des états possibles de spin d’une particule :
    F=\sum_l{e^{-\frac{E_l}{k_b.T}}}
    .
    F=e^{-\frac{E_{up}}{k_b.T}}+e^{-\frac{E_{dn}}{k_b.T}}
    .
    F=e^{-\beta.E_{up}}+e^{-\beta.E_{dn}} C’est aussi la probabilité de passer à l’état suivant d’état de spin avec ses deux énergies différentes.
    .
  • Fonction de partition F_N ou somme des états possibles de spin de N particules. Nous pouvons ainsi multiplier les probabilités dans le cas de particules indiscernables et sans interaction entres-elles (Idem Maxwell-Boltzmann) :
    F_N=(e^{-\beta.E_{up}}+e^{-\beta.E_{dn}})^N
    .

Astuce : la somme des deux probabilités de spin donne la fonction Ch ou Cosinus hyperbolique car les deux énergies sont égales et opposées dans les exponentielles.

  • 2*ch(\beta.E_l)=e^{(\beta.E_l)}+e^{(-\beta.E_l)}
    .

Feuille de cours

Physique Statistique Quantique 2

Physique Statistique Quantique 2

.
28/02/2015 : à suivre …

Résumé d’entropie de spin

  • Inverse de l’énergie thermodynamique :
    \beta=\frac{1}{k_b.T}
    .
  • Probabilité d’état de spin p_l :
    p_l=\frac{e^{(-\beta.E_l)}}{\sum_l{e^{(-\beta.E_l)}}}
    .
  • Fonction de partition F ou somme des états possibles de spin d’une particule :
    F=\sum_l{e^{-\frac{E_l}{k_b.T}}}
    .
    F=e^{-\frac{E_{up}}{k_b.T}}+e^{-\frac{E_{dn}}{k_b.T}}
    .
    F=e^{-\beta.E_{up}}+e^{-\beta.E_{dn}}
    .
  • Fonction de partition F_N ou somme des états possibles de spin de N particules :
    F_N=(e^{-\beta.E_{up}}+e^{-\beta.E_{dn}})^N
    .
  • Formule de l’entropie de spin de N particules (correction par rapport à la feuille de cours) :
     S_{spin}=k_b.\sum_l{\frac{e^{(-\beta.E_l)}}{F_N}.(\beta.E_l+ln(F_N))}
    .
  •  S_{spin}=k_b.\sum_l{p_l.(\beta.E_l+ln(F_N))} .
    .

29/02/2015 : A suivre …

Feuille 3

Sur cette feuille nous passons allègrement de l’expression probabiltse au tracé de la courbe en ignorant un peu, beaucoup, la vraie expression mathématique de S. Alors comment tracer S ?

C’est l’objet de la feuiile 4 ou j’ai démontré le biiin’s.

Physique Statistique Quantique 3-1

Physique Statistique Quantique 3-1

Feuille 4

Comment passer de l’équation probabiliste à une courbe exploitable ?

Nous passons de :

  •  S_{spin}=k_b.\sum_l{p_l.(\beta.E_l+ln(F_N))}

à

  • S=N.k_b.(f(y)-y.f'(y))

Et j’ai oublié de noter sur la feuille le résultat qui est :

  • S=N.k_b.(cosh(\beta.E)-\beta.E.th(\beta.E))

Démonstration feuille

Physique Statistique Quantique 4

Physique Statistique Quantique 4

Courbe d’entropie de Spin

Entropie de Spin

Entropie de Spin

Conclusions

Principe de stationnarité de l’action et entropie

J’étudie depuis un bon moment les rapports entre principe de stationnarité de l’action, principe de Fermat – finalement c’est un principe équivalent en optique théorisé par L. de Broglie puis prouvé par l’expérience – et entropie des systèmes. L’entropie est moins directe, pour ma petite tête, puisque nous devons étudier la variation de celle-ci 😉 (l’entropie) suivant le second principe de la thermodynamique. La variation de l’entropie nous permet de déterminer dans quel sens va se dérouler un phénomène physique comme le principe de la stationnarité de l’action qui nous indique, de façon équivalente, la même chose. Du moins je le suppute … Cela me semble presque évident ?

Prédictions en physique

Après avoir étudié le principe de conservation de l’énergie, ce second principe, bigrement plus difficile à « intégrer », nous apporte vraiment beaucoup de compréhension en physique. Donc étudier et connaître l’entropie des systèmes nous permet d’anticiper par les variations, comme pour les équations de Lagrange, les résultats ou les chemins que vont prendre les phénomènes physiques aussi bien que les « quantités d’informations » en télécommunication ou même en biologie. Une question que je me pose depuis longtemps : « Pouvons-nous quantifier la quantité d’informations d’une protéïne ? » Pour finalement répondre à la question : « Quelle quantité de codes possède la protéïne dans sa structure géométrique par rapport, par exemple à l’aspirine, molécule « clé » pour un organisme humain et encore plus végétal, qui a une très faible quantité d’information ?« 

Références

Entropie définition(S)

  • Shannon à évalué théoriquement l’influence du niveau de bruit sur le débit de transmission. Cramer et Rao ont évalués à leur tour le minimum d’incertitude possible sur un signal aléatoire. http://www.nanotechinnov.com/telecommunication-presence-bruit-shannon
    .
  • M. James Clerk Maxwell en 1861, a théorisé la probabilité de mesurer une certaine vitesse d’un grand ensemble de molécules libres sous pression faible et température déterminée. Ensuite M. Boltzmann à mesuré et déterminé, autour de 1867, la constante qui porte son nom et qui « rentre », en quelque sorte, dans la forme ou le gabarit, d’équation qu’à déterminée Maxwell. http://www.nanotechinnov.com/distribution-des-vitesses-selon-maxwell
    .

Thermodynamique

  • La thermodynamique s’intéresse aux transferts de chaleur et plus généralement s’applique aux variations des états d’un système sous pression, à diverses températures, dans des phases mélangées (liquides, solides, gazeux), sous des différences de volume et de quantités de matière différentes. http://www.nanotechinnov.com/thermodynamique-principes
    .

Transmission TeraBits/s Moment Orbital de la lumière

  • ‘ON’  vient de transmettre radio à un débit de 1,5 TeraBits/s. J’ai trouvé ce petit calcul très intéressant car il ‘explique’ en peu de mots, ou du moins en peu de formules, par rêgle de trois du niveau collège, comment nous pouvons ‘évaluer’ un moment cinétique angulaire sur un photon. Je vous livre donc ce petit calcul qui m’a beaucoup amusé. Moment orbital de la lumière :
    http://www.nanotechinnov.com/moment-orbital-angulaire-de-la-lumiere
    .

Enoncés et corrigés d’agrégation 2001

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© Jean-Paul Cipria
Ingénieur-Physicien
22/02/2015

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