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Changement de variables – Intégrale et Jacobien

Written By: Jean-Paul Cipria - Avr• 20•10
x2-exp-moins-x2

x².exp(x-²) : Une de ces p? de fonctions ISSUES de l’Isotropie, de l’Isentropie statistique de l’espace physique et du PSA selon … Maxwell, puis … Boltzmann, puis Lorentz, puis Poincaré, puis Einstein, puis De Broglie, puis Dirac, puis Feynman … et la réciproque selon tous les autres ?

Comment intervient le Jacobien ? Comment maintient-il une certaine invariance des résultats en calcul d’intégrale mais aussi en relativité restreinte ?

Seven years old (2010) Sciences Item to Improve – Sciences Special Relativity to Integrate.
To translate in English then let’s delete French version.

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Created :2010-04-20 09:52:50. – Modified : 2017-04-29 14:49:19.


Difficult ! Master Level.

Difficult ! Master Level.


<strong><span style="color: #ff0000;">Expériences En Construction</span></strong>

Expériences En Construction.

ARTICLE DE 2010 A REFONDRE – INTÉGRER LES ÉLÉMENTS DE PHYSIQUE RELATIVISTE

  • 20/04/2010 : Création. Pourquoi utiliser le Jacobien ?
  • 10/10/2011 : Explication géométrique et vectorielle du Jacobien.
  • 18/07/2014 : Amélioration de présentation. En relation avec les déterminants de matrice == > Jacobien. Voir aussi les tenseurs.
  • 25/06/2016 : Le Jacobien est utilisé dans les tenseurs pour calculer la distance infinitésimale ds^2 .
    En ce cas : ds^2=dx^2+dy^2 ou ds^2=dr^2.r.d\theta^2 .
    L’expression de la distance par tenseur est G=J^T.J avec ds^2=g_{ij}.dx^i.dx^j .
     J_{Cart} = \begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix} d’où :  G = \begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix} ==> ds^2=1.dx.dx+0.dx.dy+0.dy.dx+1.dydy=dx^2+dy^2=(dx^1)^2+(dx^2)^2 CQFD ==> CQFD en trois lignes ?
    Inutile de lire 10 cours où on vous dit que le tenseur est une forme bilinéaire sans que vous sachiez ce qu’est un tenseur !
  • Idem en relativité générale : Nous nous demandons à quoi sert de faire une matrice (tenseurs) à n² éléments dont les éléments hors de la diagonale sont tous nuls (sauf s’il existe des cas différents ?).
    Pourquoi ne pas faire colonne*ligne à n éléments sans se trimballer une palanquée de 0 ?
    Puisque nous avons toujours ds^2=-c^2t^2+dx^2+dy^2+dz^2 et pas des termes rigolos qui, au moins, justifierait l’utilisation d’un tenseur ds^2=-c^2t^2+dx^2+dy^2+dz^2+\alpha.dx.dy que finalement Einstein à réduit à ds^2=g_{ij}.dx^i.dx^j dans le cas général avec, au fond, on nous le cache ;-), i = toujours j !
    C’est pour cela que nous disons qu’il était génial ? Nous trouvons qu’il était normal et ses acolytes dingues. Non ?

    http://www.nanotechinnov.com/general-relativity-notions
  • Réponse : Dans un potentiel de gravitation l’espace est anisotrope. C’est à dire qu’il devient un hyperespace courbe : 3D courbe au lieu de 3D cubique ou cartésien. Nous avons donc les dx^1.dx^2 \ne 0 . Les termes croisés ne sont plus nuls.

Le Jacobien est indispensable à notre vie d’ingénieur ?

Fonction, fonctionnelle ou distribution ?

Il est nécessaire d’acquérir quelques connaissances sur la façon de changer de variables lorsqu’une fonction à intégrer est une fonction composée d’une autre fonction – en ce cas c’est une fonctionnelle – ou une fonction qui « dérive ou qui « intègre » – en ce cas c’est une distribution.

L’impératif besoin d’un vrai ingénieur ?

Par exemple, dans la vie courante, vous sentez l’impératif besoin 😉 de calculer la quantité d’énergie que délivre votre bout d’antenne 3.999G à 1 m de celle-ci. Comme nous savons que votre boulot d’ingénieur devrait vous demander de faire des tas d’intégrales tous les jours ? Ce que vous faites sûrement puisque vous exercez ce métier ? Si vous n’en faites pas, vous n’êtes pas ingénieur ! C’est un critère nécessaire mais pas suffisant qui « connote » votre métier d’ingénieur (scientifique).

Gérer la complexité (pénurie) ou affronter la difficulté ?

Si vous gérez, vous êtes manager. Si vous êtes pluritechnique et organisez la complexité vous êtes comptable ou ingénieur (SIC) Français ou éducateur dans le service public Français ou polytechnicien dans une entreprise. Un ingénieur ne gère pas la complexité (n techniciens affectés à k tâches sur p plateformes openspaces, avec i mots de passe et j écrans contenant m données) … vous êtes … comptable ! En ce cas il vous faut Excel et des tableaux à 3 entrées ou le plan comptable et non pas un Jacobien et encore moins un tenseur.

[tab:Jacobien]

Définition de l’intégrale

Il s’agit de calculer l’intégrale I définie sur R².(1)

  •  I=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y).dx.dy


(1) Nous sommes en didactique et non pas en précision d’horloge atomique ? Ainsi devons-nous préciser f(x,y) \in L^2 ? Non ! C’est du troisième ordre de grandeur pour la compréhension ! f(x,y) est une fonction sympathique, c’est à dire qui « fonctionne » pour ce que nous voulons lui faire faire, au premier ordre. Cela s’appelle un raisonnement à la physicienne qui s’intéresse à la compréhension des choses et non à la compétence psychologique ni pratique qui est du domaine de la pédagogie voire de la philosophie. Domaine d’où Bachelard voudrait nous éloigner si nous désirons, un tant soit peu, parvenir à « l’esprit scientifique ». C’est une différence que peu de gens comprenne. Du verbe « comprendre » ? Et non pas de la compétence (Non acquise, en cours d’acquisition, légèrement acquise, bien acquise) à cliquer sur un objet C++ qui vérifie le résultat de l’intégrale I. Vous l’avez compris, ce n’est pas l’objet de cet essai ;-).

Changement de variables

Mais en général le calcul est plus facile en changeant de variables.

  •  x=r.\cos\theta
  •  y=r.\sin\theta

Nous calculons les variations au premier ordre en fonction des nouvelles variables :

  •  dx=\cos\theta . dr-r.\sin\theta . d\theta
  •  dy=\sin\theta . dr + r.\cos\theta . d\theta

Isomorphisme (2) d’aires infinitésimales

Et nous calculons l’aire infinitésimale correspondante d\vec x et d \vec y :

  •  d\vec{S}_{Cart}=d\vec x \wedge d\vec y

Nous avons de la même façon l’aire infinitésimale calculée sur les variables r et \theta :

  •  d\vec{S}_{Surf}=d\vec r \wedge \|r\|.d\vec \theta

Nous remarquons que :

  •  d\vec{S}_{Surf}=r.(NouvellesVariables)

(2) : Un isomorphisme en physique est changement de forme, contrairement à ce que laisse penser « iso », mais qui conserve « quelque-chose » constant ou invariant (d’où le mot préfixe iso). En ce cas ce sont les distances ou plutôt le résultat de l’intégrale I qui reste invariant !!! Nous devrions dire isomorphisme = vario-morphismes-iso-scalaire ?

Jacobien

Le Jacobien J est le déterminant de la matrice suivante :

  •  J(u , v) = Det\begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial u}\\\frac{\partial x}{\partial v}&\frac{\partial y}{\partial v}\end{pmatrix}

Nous calculons le Jacobien J suivant :

  •  J(r,\theta) = Det\begin{pmatrix} \cos\theta&-r\sin\theta \\ \sin\theta&r\cos\theta \end{pmatrix}
  •  J(r,\theta) = r

Le Jacobien J sert d’interface à ajouter aux nouvelles variables pour que l’intégrale I (qui est donc un invariant dans la transformation ! Capito ?)  » fonctionne » avec celles-ci :

  •  d\vec{S}_{Cart}=d\vec x \wedge d\vec y
  •  d\vec{S}_{Surf}=J.d\vec r \wedge .d\vec \theta

Ainsi nous pouvons calculer la même intégrale de deux façons différentes :

  •  I=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y).dx.dy
  •  I=\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{2.\pi} f(r,\theta).J.dr.d\theta

Pourquoi l’invariance?

Le résultat d’un calcul par deux méthodes différentes doit mener au même … résultat ?

Ce qui reste invariant est … le résultat du calcul I ! Et non pas les surfaces ds ou les distances dx, ou les angles suivants la vue que nous nous imposons.

Quelques lois de la physique changent-elle selon le point de vue ?

Ainsi dans de nombreux cas nous nous posons la question de changer de points de vue tout en gardant un résultat constant. Dans notre cas c’est le résultat de l’intégrale I. Dans d’autre cas c’est une formule … du genre F=m.a ou F=m^1.a^1 . En ce cas nous mesurons la masse m et l’accélération a dans une représentation physique. D’une autre représentation nous mesurons m^1 et a^1 . La force F exercée sur le système est identique. F est invariante. La formule générale F=m.a=m^1.a^1 est conservée.

La physique est alors invariante par transformation. Encore fallait-il accepter que m puisse changer selon la vitesse relative de deux points de vue (1905) et selon la « géodésique » sur laquelle nous nous baladons ou autrement dit le « référentiel inertiel » dans lequel nous « baignons » (1925).

Didactiquement, commencez par comprendre l’article sur les déplacements sur une géodésique (Lindberg 1927 !) :

Navigation Astronomique 9 – La Route Orthodromique

Les ondes gravitationnelles « prouvent-elles » une sorte d’invariance ?

Les dernières mesures sur la réception d’ondes gravitationnelles (2015-2016) prouvent que notre « espace » peut vibrer de quelques millièmes de rayon d’atomes quand un double trou noir fusionne à quelques milliards d’années lumière d’ici. La conception de cette théorie est validée aujourd’hui par la mesure et par un concept qui consiste à trouver les états stationnaires d’une intégrale. Une intégrale I dont le résultat est invariant ? Ou du moins nous nous débrouillons pour que le contenu de l’intégrale soit nul de telle sorte que I soit une constante. La suite au prochain épisode …

Capito ?

Jacobien

  • ∫∫ f( x , y ) . dx . dy = ∫∫ f( u , v ) . DetJ( u , v ) . du . dv
    .
  • DetJ( u , v ) = ( ∂x/∂u ) . ( ∂y/∂v ) – ( ∂y/∂u ).( ∂x/∂v )
    .
  • | ∂x/∂u , ∂y/∂u |
    | ∂x/∂v , ∂y/∂v |

.

Cas de l’exponentielle

Application du Jacobien au calcul de l’intégrale :

  • ∫exp-(x²).dx sur o à ∞ ?

Remarquons que :

  • ∫∫exp-(x²+y²).dx.dy = ∫exp-(x²).dx . ∫exp-(y²).dy
  • ∫∫exp-(x²+y²).dx.dy = [ ∫exp-(x²).dx ]²
  • ∫exp-(x²).dx = Racine [ ∫∫exp-(x²+y²).dx.dy ] [1]

Calculons :

  • ∫∫exp-(x²+y²).dx.dy = ?

Dans ce cas posons :

  • x = r.cos(t) : 0<= r <= ∞
  • y = r.sin(t) : 0 <= t <= Π/2

donc

  • ∫∫exp-(x²+y²).dx.dy = ∫∫exp-[r²cos²(t) + r²sin²(t)].DetJ(r , t).dr.dt
  • = ∫∫exp-r²[cos²(t) +sin²(t)].DetJ(r , t).dr.dt
  • = ∫∫exp-r².DetJ(r , t).dr.dt [2]

Et

  • DetJ(r , t) = [r.sin(t).r.sin(t) – (-rcos(t).r.cos(t)]
  • = r.[sin²(t)+cos²(t)]
  • DetJ(r , t) = r [3]

Posons [3] dans [2] :

  • ∫∫exp-(x²+y²).dx.dy = ∫∫r.exp-r².dr.dt
  • = ∫∫r.exp(-r²).dr.dt
  • = ∫∫exp(-r²).dx.dy
  • = ∫dt.∫r.exp(-r²).dr
  • = (Π/2).∫r.exp(-r²).dr
  • (Π/2) . [-0.5.exp(-r²)]0 à ∞ = (Π/2) . [-0 + 0.5}
  • ∫∫exp-(x²+y²).dx.dy= Π/4 [4]

D’autre part posons [4] dans [1]

  • ∫exp-(x²).dx = √(Π/4) [5]
  • CQFD
[tab:Composées]

Fonctions composées

Une fonction composée ressemble à cela :

  • f(x) = x².exp(-x²)

Nous pouvons poser : C’est un changement de variable :

  • g(x) = x²

Ainsi nous avons :

  • f(x) = g(x).exp[g(x)]

Ce qui est censé être plus simple 😉

ou encore :

  • f[g(x)] = g(x).exp[g(x)]

Et si nous voulons « voir » le coté simple posons :

  • t=g(x)
  • f(g(x)=h(t)
  • h(t) = t.exp(-t)

C’est plus simple ?

[tab:Analyse]

Analyse de fonction

Domaine de variation (ou de validité)

  • t peut varier de 0 à +∞.

La dérivée par rapport à t de la fonction f est :

  • f ‘ (t) = exp(-t) – t.exp(-t)

Passage à la différentielle

  • df (t) = exp(-t).dt – t.exp(-t).dt

Par dérivation partielle par rapport à x cette fois- ci :

  • df[x]/dx = δf[t]/δt . dt/dx

Dans notre cas :

  • δf[t]/δt = exp(-t) – t.exp(-t)
  • dt/dx = d(x²)/dx
  • dt/dx = 2x

D’où

  • df[x]/dx = [ exp(-x²) – x².exp(-x²) ] . 2x
  • f ‘ (x) = 2x.exp(-x²) – 2x³.exp(-x²)

si nous voulons intégrer f(x)

  • ∫0 à +∞ f(x). dx = ∫ x².exp(-x²) . dx
  • = ∫ t.exp(-t) . dx

Comme dx = dt/2x = t-½.dt

  • = ∫ t.exp(-t) . t-½.dt = ∫t+½.exp(-t) . dt

Et nous nous retrouvons dans le cas général de :

  • ∫tn.exp(-t) . dt

Ce qui ne nous avance guère !!!

[tab:I. par parties]

Intégration par parties

Posons (1er cas qui ne fonctionne pas)

  • u = exp(-x²) donc u ‘ = -2x.exp(-x²)
  • v ‘ = x² donc v = x³/3
  • ∫u.v ‘ = [uv ‘ – u ‘ v] – ∫u ‘ v
  • = [exp(-x²).x² – (-2x.exp(-x²).x³/3)] – ∫-2x.exp(-x²).x³/3

Ceci devient très embêtant !

Posons (ça marche !)

  • u = x² donc u ‘ = 2x
  • v ‘ = exp(-x²) donc v = -1/2. x.exp(-x²)
  • ∫x².exp(-x²).dx = [x².exp(-x²) – (-1/2.x . exp(-x²) )] – ∫(-1/2.x . exp(-x²).dx
  • = 0 + 1/2. ∫x . exp(-x²).dx
  • = 1/2. ∫x . exp(-x²).dx
  • = 1/2. { [x.(-2x).exp(-x²) – exp(-x²)] – ∫ – exp(-x²).dx }
  • = 1/2. { [0] + ∫ exp(-x²).dx }

D’après [5]

  • ∫x².exp(-x²).dx= 1/2. √(Π/4)

CQFD

Références

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équation différentielle, calcul intégral, jacobien, changement de variable, exponentielle, matrice, tenseur.

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© Jean-Paul Cipria
Ingénieur-Physicien
20/04/2010

14/04/2017 : 492 vues.

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