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Comment Développer une Fonction en Série Polynomiale ou de Fourier ?

Written By: Jean-Paul Cipria - Oct• 21•16

We are sorry. Those following PhD thesis annexes are in French language. Some denounced « ideology » and author irony are typicaly … local French. Let’s try to understand French hidden meanings. It is a good exercice for us !

Comment trouver un polynôme « simple » traduisant la variation d’orbite terrestre au troisième ordre [MEEUS-2014] afin de modifier en conséquence les trajectoires de satellites ?
Thématique sociétale : Une groupe aéronaval ou petite flotte Russe – les journalistes disent « armada » – constitué d’un porte-avion, d’un croiseur, de deux sous-marins d’attaque nucléaire, d’un pétrolier, d’une frégate contourne l’Europe par l’Ouest maritime pour atteindre la méditerranée où elle prend position en face de la Syrie pour égaliser les forces des superpuissances au sud de l’Europe ET, en même temps forcer les pipelines énergétiques Sud-Nord afin de désenclaver la Russie de l’axe gazeux, pourrions nous-dire, Est-Ouest.
Problématique sociétale : Comment améliorer la localisation des bâtiments armés Russes par l’amélioration des positions des satellites Américains ? (On est du coté des américains, souvenez-vous ! Obama beach ?)
Voila pour la thématique et la problématique académique.
Ouf, ça c’est fait. Bossons maintenant
. 😉.
Comment transformer une fonction en un polynôme ?
Comment faciliter un calcul  de fonction par un processeur en traitement numérique du signal ?
Nous voulons f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n.x^n . Il ne reste qu’à calculer les a_n .

Created :2016-10-21 20:26:31. – Modified : 2017-11-18 18:38:09.

« C’est marrant cette manie des académiques de faire des phrases. » – Aud … pardon, Jean-Paul Cipria.

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Created :2016-10-21 20:26:31. – Modified : 2017-11-18 18:38:09.

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Complicated but Not Difficult - Bachelord Level - Analysis in Watermaked are from PhD level.

Bachelord Level. Not Difficult – Watermaked Analysis are from a PhD level.


Done ... Un Café ?

Done … Un Café ?

Démonstration Pratique de la Série de Taylor

Ou, comment trouver un polynôme possible et facilement calculable de f(x) ? Ou, comment développer une fonction en une suite de ses dérivées à l’ordre n ?

Ou ?

Comment décomposer une distribution C^n sur une base infinie ? Cela devient plus difficile à dire mais c’est la même chose ! Cette expression connote des mathématiques à l’ordre deux ou trois. Ici, ingénieur nous sommes, nous pratiquons donc les mathématiques pour physicien au premier ordre.

Deuxième remarque : La « démonstration » est utilisée sans récurrence. Il ne s’agit pas d’écrire la formule de Taylor et de montrer quelle fonctionne à tous les ordres de dérivations partielles mais exactement l’inverse. C’est à dire partir d’une hypothèse et construire pas à pas la formule pour tomber sur un … CQFD.

Troisième remarque : Il ne s’agit pas de « vérifier » que la solution qu’imposent les « académiques », qui vous prennent pour des ânes, fonctionne mais il faut trouver une astuce possible, trouver une suite logique probable, la plus épurée ou descoriée possible, qui a demandée parfois des siècles de réflexion, qui vous mène vers une solution « compréhensible ». C’est à dire qui vous propose une démonstration possible du théorème.

Ou autrement dit il ne s’agit PAS de vérifier si le théorème fonctionne en utilisant une récurrence à l’ordre n comme « on » nous l’impose dans 99.99 % des cas Français ! Il est vrai qu’ « on » ne vous demande pas de réfléchir et encore moins de vous entraîner à devenir intelligent !

Prenons donc le contre-pied.

Quatrième remarque : N’allez pas nous dire que cette démonstration est triviale ou fastoche, innée, intuitive et autres bêtises. Elle nous suffit, presque, du bac+3 au bac +8 … inclus. Croyez-nous, « yena kion essayé. Ison u dé problems ! »

Donc, voila pour la partie doctorale. Ça, c’est fait !

Processeurs de signaux

Nous voulons calculer f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n.x^n et nous arrêter à l’ordre N soit f_N(x)=\sum\limits_{n=0}^{N} a_n.x^n . Une des caractéristiques d’un processeur de signal c’est qu’il effectue chaque opération suivante en un seul cycle machine :

  1. a_0.1+
  2. a_1.x^1+
  3. a_N.x^N+

Soit en N+1 cycles d’horloge si nous avons préalablement calculé tous les x^n . Ce qui se fait en une boucle itérative en N+1 coups. Nous allons démontrer une des façons simples d’y arriver.

Comment calculer les dérivées successives de fx ?

Nous voulons f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n.x^n . Il ne reste qu’à calculer les a_n .

Les premières dérivées de f(x) sont :

  • f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n.x^n=a_0+a_.x^1+\dddot{}+a_n.x^n+\dddot{}
    .
  • f^{(1)}(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} n.a_n.x^{n-1}
    .
  • f^{(2)}(x)=\sum\limits_{n=2}^{\infty} n(n-1).a_n.x^{n-2}
    .
  • f^{(N)}(x)=\sum\limits_{n=N}^{\infty} n(n-1)\dddot{}(n-N+1).a_n.x^{n-N}=

En posant k=n+N nous avons :

  • f^{(N)}(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty} (k+1)\dddot{}(k+N).a_{k+n}.x^{k}

C’est une récurrence ! 😉

Quelle est la formule de f(0) ?

En calculant f^{N}(0) en x=0 les termes en x sont nuls. Il ne reste que :

  • f^{(N)}(0)=1.2.\dddot{}.N.a_n=N!.a_N

D’où :

  • a_N=\frac{f^{(N)}(0)}{N!}

Nous insérons ces valeurs dans la définitions de f :

  • f(0)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}.x^n

D’où :

  •  f(0)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}.x^n

Ou Série de Maclaurin.

CQFD

Comment calculer f(x) autour d’un point x0 ?

Posons par définition :

  • f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n.(x-x_0)^n

Par la même démarche que précédemment nous trouvons : Repeat again {…} then :

  •  f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}.(x-x_0)^n

Ou série de Taylor.

C…Q…F…D. Au premier ordre de la démarche d’ingénieur !

Comment trouver le rayon de convergence de f(x) ?

Nous définissons le rayon R tel que :

\forall x \in ~]x_0-R;x_0+R[ tel que f(x) existe.

Par théorème à l’aide du critère de Cauchy nous trouvons :

  • R=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}
    .
  • R=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{{}^n\sqrt|a_{n}|}
    .

Comment trouver le polynôme de l’exponentielle ?

Par définition de l’exponentielle est e^x avec e=2.718 ou bien avec le calcul ci-dessous nous obtenons : 2.7182818284590(50) .

Une autre définition du nombre Népérien e ?

Posons l’intégrale de 1/x et, par définition, trouvons le nombre … e tels que l’intégrale ou surface soit égale à 1. D’où :

  • \int\limits_{0}^{e} \frac{1}{x}.dx~=~1 ~=~ln(e) Le « e » au dessus de l’intégrale est l’objectif, la variable à atteindre. En ce cas « x » n’est qu’une variable de « découpage » de l’intégrale. Nous pouvons faire cela par la méthode d’intégration de Simpson en quelques centaines de coups.
  • Remarque en physique du solide : La même méthode est utilisée pour la détermination de la pulsation de Debye puisque nous connaissons le résultat du nombre total d’états quantiques, qui correspond de manière identique au « 1 » du logarithme Népérien. [CIPRIA-Physique du Solide-2016]

Quelles sont les dérivées successives ?

  • Par théorème, nous développons ln(x) en polynômes de Taylor. Nous calculons sa dérivée et par dérivée de la fonction réciproque de ln(x) soit e^x nous trouvons : (e^x)^{(n)}=e^x . C’est une démonstration possible par développement de Taylor.

En appliquant le développement en polynôme de Taylor sur e^x nous trouvons :

  • e^x=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}

Quel est le rayon de convergence de l’intégrale ?

  • a_n=\frac{1}{n!}

Avec :

  • R=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}

D’où :

  • R=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{\frac{1}{n!}}{\frac{1}{(n+1!)}}
    .
  • R=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{(n+1)!}{n!}
    .
  • R=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}(n+1)=\infty

Toutes les valeurs de x conviennent pour l’expression e^x=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} . nous pouvons prouver que le développement en série converge aussi sur tous les nombres complexes. Ce qui permet de prouver le théorème d’Euler. (Voir par ailleurs e^{ix}=cos(x)+i.sin(x)).

Comment arrêter le calcul au Énième terme avec une précision maîtrisée ?

Soit une précision absolue meilleure que \frac{\Delta{ e^x}}{}\le R_C\le 10^{-13} .

Nous calculons les 25 premiers termes jusqu’au obtenir la borne R_C (Majoration Cipria) qui est une évaluation majorée et calculée du reste total R de l’exponentielle e^x calculée jusqu’à l’ordre N .

  • expN(x)=\sum\limits_{n=0}^{N} \frac{x^n}{n!} est la série arrêtée à l’ordre N .

Tableau Excel

N 25
x 3
exp(x) 20,085536923187(700)
expN(x) 20,085536923187(700)
RC 0,000000000000062
R 0,000000000000000

Fin tableau

Sous Excel R parvient à la limite de résolution des calculs soit \frac{\Delta{ x}}{x}=10^{-15} .

Conclusions

Nous avons trouvé une façon de calculer en 25 coups exp(3) avec une erreur absolue inférieure à R_{Cipria}(x,N)=6.2.10^{-14} Cette majoration absolue est calculée en fonction de x et de N . Nous arrêtons le calcul lorsque cette majoration est inférieure à l’incertitude absolue demandée. Ce qui est bien pratique.

Comment trouver la majoration exponentielle de Cipria ?

Comment se servir d’une expression polynomiale ?

Évaluer la dérivée de exp(x) ?

C’est la démarche LOGIQUE RÉCIPROQUE

  • \frac{d e^x}{dx}=(e^x)^{\prime}=(\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!})^{\prime}
  • (e^x)^{\prime}=(1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\dddot{}+\frac{x^N}{N!}+\dddot{})^{\prime}
  • (e^x)^{\prime}=0+\frac{1}{1!}+2.\frac{x}{2!}+\dddot{}+(N-1).\frac{x^{N-1}}{N!}+\dddot{}
  • (e^x)^{\prime}=1+\frac{x}{1!}+\dddot{}+(N-1).\frac{x^{N-1}}{N!}+\dddot{}
  • (e^x)^{\prime}=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}
  • (e^x)^{\prime}=e^x

CQFD

Références scientifiques

[CIPRIA-Physique du Solide-2016]

Physique du Solide

How to : DON’T Understand a simple serial convergence in France math for physicist ?

How to – DON’T Understand : A Digital Serial Convergence in France in Math for Physicist ?

Calculs astronomique de précision

Navigation 4 – Calcul astronomique de Positions de Précision

Calculs par approche polynomiale

  • [MEEUS-2014] : Jean-MEEUS – « Calculs astronomiques à l’usage des amateurs. » – Edition 2014.
    Excellent livre – Néanmoins les définitions du temps ne sont pas très claires. La reconstitution des calculs sur Matlab  est juste, mais il est difficile de savoir quels temps nous calculons ! La comparaison avec d’autres logiciels et estimations de sites scientifiques fonctionne très bien !

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Jean-Paul Cipria
21/10/2016

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