Engineer's Book

————— PHYSICS – SPACE – ALGORITHMICS ——-

Orthogonalité de Courbes Physiques – Lignes de Champs et Équipotentielles Électriques

Written By: Jean-Paul Cipria - Jan• 03•14

Comment accélérer un électron ? Comment le maintenir sur une trajectoire que nous déterminons ? Comment connaître les différences de potentiels générées par le champ ?

Il faut commencer par connaître avec une précision maîtrisée l’élément générateur de la physique :

Created :2014-01-03 12:09:01. – Modified : 2017-02-02 12:18:20.

Expériences En Construction

Expériences En Construction

Création : 03/01/2014


Architecture - Arche à Poussée Constante - Rayons de Courbure.

Architecture – Arche à Poussée Constante – Rayons de Courbure. [CIPRIA-17-01-31]

Champs et Potentiels Orthogonaux en champs lointains - Observez surtout la perpendicularité locale des vecteurs de courbes. [CIPRIA-14-01-03]

Champs et Potentiels Orthogonaux en champs lointains – Observez surtout la perpendicularité locale des vecteurs de courbes. [CIPRIA-14-01-03]


Vecteurs Orthogonaux sur un Repère Local

Vecteurs Orthogonaux sur un Repère Local [CIPRIA-17-01-26]

Architecture – Arche à Poussée Constante – Droites Orthogonales Locales

Dipôle Araignée

Dipôle Araignée

Bonjour,

L’ingénieur a besoin de calculer une courbe de niveau d’énergie de gap sur un diélectrique, établir des strates sur prise de vue par satellite, évaluer l’ensemble des points d’une ligne de force sur une pile d’immeuble ou le rayonnement d’une antenne sur un pylône d’émission GSM, 4G ou hyper-fréquence. Il doit alors calculer la fonction principale de son phénomène physique et évaluer les lignes de champs ainsi que les courbes équipotentielles [CIPRIA-14-01-03].

J’aborde aujourd’hui les lignes de champ E  et les équipotentielles  V d’un dipôle électrique q.d qui ne sont pas si simples. Qui peut le plus, peut le moins ! Pourquoi ?

Trajectoires ?

Parce que les trois concepts sont, en fait, difficiles à comprendre. Plusieurs pièges, je suis tombé dans la potion tout petit, sont tendus :

  1. Le dipôle électrique q.d (charge par distance)  dont le module de E varie en 1 \over r^3 , contrairement au 1 \over r^2 dont on a l’habitude.
    .
  2. Les lignes de champ E : On ne calcule pas un module de E constant mais plutôt :
    !!! LA TRAJECTOIRE SUIVIE PAR LA COURBE AFFICHÉE EST TOUJOURS TANGENTE A LA DIRECTION DU  CHAMP CALCULE LOCALEMENT !!!
    .
  3. L’équipotentielle de V : Cette fois-ci une ou plusieurs trajectoires sur lesquelles :
    LE POTENTIEL ÉLECTRIQUE V EST CONSTANT SUR UNE ÉQUIPOTENTIELLE.

Perpendiculaire ou Orthogonal ?

Perpendiculaire ?

Perpendiculaire : Sur un plan, deux segments de droites qui forment un angle droit ou 90° ou \frac{\pi}{2} radian. Les autres segments des droites continuent d’être à 90° ou perpendiculaires.

Orthogonal ?

Orthogonal : Par exemple sur une courbe 2D dans un espace 3D, une partie de courbe est localement perpendiculaire à une autre partie de courbe se croisant en un point. Si nous étendons les parties de courbes hors du point alors elles ne sont plus perpendiculaires.
L’orthogonalité s’étend conceptuellement au produit scalaire. Deux fonctions  – d’onde, de distribution … etc sont orthogonales si leur produit scalaire étendu est nul.

Local, 2D, points à points ?

  •  x_1.x_2+y_1.y_2=0

Exemple :

  • Deux vecteurs dans le plan sont perpendiculaires.

Étendue, N Dimensions, fonctions à fonctions ?

  • \int{\Psi_1.\Psi_2.dx}=0

Exemples :

  • Deux fonctions d’ondes sont orthogonales. Nous pouvons construire un système « générateur » au sens des espaces vectoriels. Ce qui est pratique pour l’ingénieur et le physicien.
  • Deux systèmes de spectres de fréquences sont orthogonaux. Exemple de l’OFDM en GSM, LTE, 4, 5  et  6 (rien ne change !), Wifi … ou les spectres sont  presque – nous disons pseudo – orthogonaux*.
  • Il n’y a pas de passage possible d’une énergie à une autre sur un niveau quantique ou la particule ne peut pas être là, ou … etc.

(*) : Il n’y a pas de changement de paradigme. « On » applique un coefficient multiplicatif k >1 : Ex. k=5 avec B=1 MHz d’où B=5 MHz. Les télécoms pour les nuls ? 😉

L’orthogonalité étendue statistique ou avec poids \omega ?

  • \int{\omega.\Psi_1.\Psi_2.dx}=0

Exemples :

  • Génération de différents polynômes orthogonaux A CONDITION D’IMPLÉMENTER LES POIDS \omega : Legendre, Hermite … i.e : l’intégration de deux polynômes dits orthogonaux, tous seuls, sans le poids \omega ne donne pas 0 . Essayez ! Donc sans le poids \omega les deux polynômes ne sont pas orthogonaux. Ils le sont seulement, disons-le, de façon statistique.
  • Fonction de répartition de positions d’un électron sur une couche énergétique qui répond à la question : Y a t-il un courant possible à ce niveau d’énergie ? Fonction de répartition de Fermi, de Bose-Einstein lorsque l’on remplace \Psi_1.\Psi_2 par la densité de probabilité qui répond à la question : combien y a t-il d’états physiques possibles dans cette gamme d’énergie ? … La liste est longue.

D’où l’intérêt de comprendre cette partie et de relier à la fois la signification physique, qui est l’objectif primordial, stratégique, indispensable et ignoré aux déroulements statistiques mathématiques jusqu’à la maîtrise des différentes significations d’un produit scalaire nul. Ce qui fait beaucoup de concepts pour des petites têtes comme les nôtres ?

Les trajectoires tangentes et orthogonales ?

Lignes de champ E(M)

J’ai tracé les vecteurs champ électrique E au point M suivant leurs vraies directions et sens. Leurs modules tracés ne dépendent que de l’angle \theta pour plus de simplicité. En fait le module de E dépend aussi du rayon r sur la trajectoire tracée.

Ligne de Champ E

Ligne de Champ E

On remarque que les courbes bleues des lignes de champs E sont toutes parallèles à la trajectoire (il faut suivre la ligne qu’indique les vecteurs bleus). L’intensité de E (ou son module) peut être n’importe laquelle et donc les forces qui peuvent s’exercer auront des intensités différentes suivant la position. Seulement nous pouvons prédire quelle trajectoire va prendre une particule chargée si on la plaçait sur une de ces lignes – ce sera la tangente locale à la courbe. Ce qui simplifie grandement la prédiction du phénomène physique.

Équipotentielles V(M)

Les équipotentielles V au point M sont les courbes rouges. Les vecteurs de champs électriques E superposés à la courbe V sont tous orthogonaux à la trajectoire de V lorsque nous suivons celle-ci. On s’aperçoit aussi que les trajectoires  V (lignes rouges) des équipotentielles V sont perpendiculaires localement à chaque croisement d’une ligne de champ E (lignes bleues).

Equipotentielle V

Equipotentielle V

Orthogonalité des lignes de champ et des équipotentielles

Une des trajectoires d’équipotentielles V (rouge) est orthogonale à tous les croisements avec les lignes de champ E (bleues) :

Lignes de Champ E Perpendiculaires à V = Cte

Lignes de Champ E Perpendiculaires à V = Cte

Phénomène physique

Expression du champ E et du potentiel V électriques au point M

Champ électrique dipolaire

Champ électrique dipolaire

Nous calculons en premier le potentiel électrique V au point M à la position r et \theta :

Potentiel V

Calcul du Potentiel V

  • V_{M}=\frac{q.d}{4.\pi.e.r^2}.cos(\theta)

Nous calculons ensuite, grâce au gradient cylindrique, le champ électrique E au point M à la position r et \theta :

  1. \vec{E}_{M}=-\vec{grad}(V_{M})
  2. \vec{grad}(V_{M})=\frac{\partial{V}}{\partial{r}}.\vec{e_r}+\frac{1}{r}\frac{\partial{V}}{\partial{\theta}}.\vec{e_{\theta}}+\frac{\partial{V}}{\partial{z}}.\vec{e_z}
Champ Electrique E

Champ Electrique E

D’où :

  • \vec{E}_{M}=\frac{q.d}{4.\pi.e.r^3}.(2.cos(\theta).\vec{e_r}+sin(\theta).\vec{e_{\theta}})

Définition des lignes de champ

La trajectoire définie par l’élément de variation dr sur celle-ci doit être parallèle au champ E local d’où :

  • d\vec{r}=K.\vec{E}

Coordonnées Euclidiennes

  • E=(E_x,E_y,E_z) et r=(d_x,d_y,d_z)

d’où

  1. dx=K.E_x
  2. dy=K.E_y
  3. dz=K.E_z

D’où :

  • \frac{dx}{E_x}=\frac{y}{E_y}=\frac{z}{E_z}

.

Coordonnées polaires

E=(E_r,E_{\theta},E_{\phi}) et r=(dr,r.d\theta,r.sin(\theta).d\phi)

d’où

  1. dr=K.E_r
  2. r.d\theta=K.E_{\theta}
  3. r.sin(\theta).d\phi=K.E_{\phi}

D’où :

  • \frac{dr}{E_r}=\frac{r.d\theta}{E_{\theta}}=\frac{r.sin(\theta).d\phi}{E_{\phi}}

Calcul des lignes de champ de E

Dans notre cas nous n’utilisons pas \phi car nous restons dans un plan où \phi est constant.

  • \frac{dr}{2.cos({\theta})}=\frac{r.d\theta}{sin(\theta)}

D’où :

  • \frac{dr}{r}=\frac{2.cos(\theta)}{sin(\theta)}

En intégrant à une constante K près :

  • ln(\frac{r}{K})=2.ln(sin(\theta))
  • ln(\frac{r}{K})=ln(sin^2(\theta))

La fonction logarithme est bijective :

  • r=K.sin^2(\theta)

Nous avons la relation qui lie le rayon à l’angle de telle sorte que sur ces trajectoires le champ E est tangent à la dérivée locale.

Matlab

Calcul des trajectoires selon r et \theta :

.

% Trajectoire ou E est tangent ou trajectoire tangente à E.

r1(cpt1) = K*sin(theta(cpt1))^2;

% Calcul du potentiel constant

% Vm = (q.d/(4.pi.e.r²)) * cos(Theta)

% Vm = C ==> r = sqrt( cos(theta) )

u=abs( cos(theta(cpt1)) );

r3(cpt1) = K * sqrt( u );
.

Calcul des champs Ex et Ey pour les vecteurs E

.

% Calcul de Ex et Ey

Ex(cpt1) = 2*cos(theta(cpt1))^2 - sin(theta(cpt1))^2;

Ey(cpt1) = 3*cos(theta(cpt1))*sin(theta(cpt1));

.

Calcul des vecteurs locaux de champ E

.

% Affichage des trajectoires tangentes

% Vecteurs E

quiver(b,c,Ex(cpt1)/Alpha,Ey(cpt1)/Alpha,'b');

hold on

.

Références

Cours

  • [CIPRIA-17-01-31] : Cipria, Jean-Paul – Simulation Matlab – Architecture – Arches à Poussée Constante :
    Fichier Matlab : Architecture_Arches_Poussee_Constante_17_01_31.m
    .
  • [CIPRIA-17-01-26] : Cipria, Jean-Paul – Simulation Matlab – Vecteurs orthogonaux sur un repère local –
    Fichier Matlab : vecteurs_orthogonaux_17_01_28.m
    .
  • [CIPRIA-14-01-03] : Cipria, Jean-Paul – Simulation Matlab – Champ Tangent et Orthogonal Électrique Dipolaire :
    Fichier Matlab : Champ_Electrique_Dipoles_2017_01_26.m
    .
  • José-Philippe Pérez > Ouvrages > Simulations numériques en électromagnétisme :
    http://www.ast.obs-mip.fr/article.php3?id_article=284&var_recherche=perez

.
Jean-Paul Cipria
03/01/2014

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