Engineer's Book

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Navigation 12 – Les Quaternions ou Rotations dans l’Espace Réel ou … Mathématique ?

Written By: Jean-Paul Cipria - Jan• 13•17

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Apollo - 8 Balls - Nasa

Centrale de Cap et de Verticale Apollo 8Observez la zone rouge ou pôle en haut à gauche. C’est une zone de convergence de tous les méridiens. Le pôle géographique est aussi un pôle mathématique. C’est un point d’incertitude en longitude.  Apollo 8 – Ball – Nasa


Quaternions autour de l'Axe i par Angles de 45°

Calculs Automatiques de Quaternions autour de l’Axe i par Angles de 45°. Ici nous tournons en longitude autours d’un pôle de manière contrôlée, automatique et sans impossibilité physique ou mathématique. @ Cipria-2017.

Comment calculer facilement par ordinateur de bord une rotation de satellite autour d’un axe privilégié sans passer par les transformations d’espace par matrices ?

Comment éviter le blocage de cardan* ou gimbal lock** lorsque un avion pique ou ressource ?

Comment calculer une précession quantique de spin autour du champ B et ainsi maitriser la précision d’une horloge atomique ?


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Created :2017-01-13 16:48:21. – Modified : 2017-02-06 21:09:59.


Article Terminé ... Café ?

Article Terminé.



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Comment maîtriser automatiquement un tonneau vertical en avion ?

Gimbal lock et sûreté*** des calculs embarqués ?

Apollo-11 - Centrale de Navigation et Gimbal-lock - Nasa

Le pilote centre l’attitude de la capsule sur un des pôles. Une alarme de Gimbal Lock apparait en orange à sa gauche. Le Gimbal Lock est évité par un quatrième axe sur la CCV.  Apollo 11 – Centrale de Navigation – Nasa.

(***) : Sûreté et non sécurité ! La sûreté assure la sécurité. La réciproque n’est pas forcément vraie.

(*) et (**) : Blocage de cardan ou gimbal lock : Si un axe d’un gyroscope est vertical et que l’axe de l’avion se situe parallèlement à cet axe alors deux plans sur les trois du gyroscope, qui constituent l’espace géométrique ou métrique absolu, sont confondus. Il ne peut plus y avoir de recoupement égal à un axe sur ces deux surfaces ou plans confondus et nous « perdons » une direction. L’ensemble gyroscopique se met à tourner dans le plan de ces deux plans. C’est difficile à s’imaginer sans … plan 😉 ?

Jean-Paul Cipria – Very old engineer. Looks for  a Job elsewhere than in Europe, with compensation, if possible ? (Elsewhere than ? De partout SAUF …)

Qu’est-ce qu’une base de RESAL ?

Voir la base de RESAL que nous avons modifié :

Navigation-11-2 Navigation Inertielle – Centrale de Cap et de Verticale

Gimbal lock ?

Si c’est un ancien avion asservi gyroscope ou un missile d’aujourd’hui, il a tendance à faire des tonneaux en montant à la verticale ou en descendant à pic. Le gyroscope n’est pas du tout bloqué, au contraire ! Mais s’il ne peut pas tourner à 360°, la loi de l’emmerdement maximum (PMA*), fait qu’il va taper sur la butée, à droite, ou à gauche, ou les deux périodiquement d’où le mot anglais « lock ».

(*) PMA : Principe de Moindre Action ou Principe de Stationnarité de l’Action. Concept fondamental de la physique, repris maintes et maintes fois dans ces articles. Ce principe représente une bonne moitié de la physique non expliquée à nos élèves et étudiants. Jean-Paul Cipria.

Mathématiquement en calcul par matrice le gimbal lock se produit de la même façon que physiquement sur un gyroscope et … heureusement ! Sinon il faudrait nous demander en quoi le modèle de mathématiques pour physiciens est validé par le phénomène physique ? Le gymbal lock se produit en calcul matriciel mais ne se produit pas en calcul par quaternions puisque la représentation de l’espace d’un point n’est pas faite par la construction de trois plans. Ainsi en quaternion il n’existe pas de pôles sud et nord pour lesquels une longitude n’est plus définie. Au pôle nord la latitude est +90° mais la longitude varie de 0 à 360°. La longitude n’est plus définie. Nous avons perdu une information de rotation autour du pôle ! L’asservissement en rotation sur l’axe vertical « perd la boule », c’est le cas de le dire, puisque toutes les valeurs d’angles sont possibles et satisfont au calcul de position ! Donc rien n’empêche l’avion de faire un tonneau à la moindre perturbation ou dysmétrie des commandes ou des poussées des réacteurs.

Dans la thématique navigation spatiale, aérienne, maritime et, tenez, sous-marine je calcule les rotations en …? technique quaternion. Malgré que je ne crois pas qu’un gimbal lock puisse se produire avec un sous-marin sauf à faire surface ou piquer à la verticale. Ce qui s’appelle remonter en tire-bouchon. Ce qui n’est pas très bon ? -;)

Facilité des calculs numériques ?

Nous abordons la technique de calcul de rotation en s’affranchissant, un peu, de la lourdeur des matrices. Nous remplaçons une matrice 3×3 des techniques de rotations par un vecteur à 4 dimensions par les quaternions. Pour peu que nous repartions en matrice pour effectuer la rotation par quaternions nous nous retrouvons quand même en 3*3. Nous gagnons une dimension voire rien ? Mais les calculs sont plus simples (?). Cette technique est en fait une extension des nombres complexes de dimension 2 à des nombres complexes de dimension 4. Pas plus difficile que cela.

Quaternion - 8 Rotations de 45° autour de l'axe j

Quaternion – 8 Rotations de 45° autour de l’axe – @ Cipria-2017.

Applications en physique quantique ?

Un autre intérêt est que les quaternions permettent de comprendre d’une autre façon que celle académique la construction des matrices de Pauli, qu’ensuite la transformation de Lorentz peut s’assimiler à une rotation et enfin d’aborder le Graal théorique de l’électrodynamique quantique [Feynman-1945] sans péter un fusible à la page 9/110 en se demandant en quoi une intégrale d’action constituée d’un lagrangien qui tripote une palanquée d’ondes avancées et retardées en miroir … d’elle même est une rotation ? Voilà le début d’une réponse … logique. Du moins voici une des bases, en annexe, pour avancer sur le sujet.

Monsieur Feynman existe-t’il une didactique des Quaternions ?

Le chapitre précédent porte le nom savant de « didactique ». « La didactique décrit la suite (logique ?) des apports en apprentissage des connaissances et des compétences » qui est NOTRE définition puisque personne d’autre n’en donne sur les 500 000 fonctionnaires … éducatifs ?

Partie privée.

L’inventeur des quaternions fête ses … 201 ans !

Cette technique est issue des travaux de O. Rodrigues en … 1815 – Ce qui ne nous rajeunit pas – qui s’intéressait, comme Feynman bien après, au second principe de la physique. Vous ne voyez pas le lien logique ? C’est justement l’objet d’une toute, toute, petite partie de la … didactique de cette annexe de thèse. Donc ce n’est pas facile à comprendre. Comprenez-vous ? (Nous aimons les paradoxes.)

Qu’est-ce qu’un quaternion ?

Quels sont les vecteurs de la base 3 ?

Posons les vecteurs de base \vec{i} , \vec{j} , \vec{k} tels que :

  • -1=\vec{i}^2=\vec{j}^2=\vec{k}^2

Et que :

  • \vec{i}.\vec{j}=\vec{k}. De même pour toutes les permutations dans cet ordre.

Et :

  • \vec{j}.\vec{i}=-\vec{k}. De même pour toutes les permutations dans cet ordre.

Une définition simple du quaternion ?

Par définition le quaternion q est un vecteur à 4 dimensions (le nombre a réel s’ajoute au vecteur v) est :

  • \vec{q}=a+b.\vec{i}+c.\vec{j}+d.\vec{k}
  • \vec{q}=a+\vec{v}
  • \vec q = cos(\varphi/2)+sin(\varphi/2).\vec u

Qu’est-ce qu’une multiplication de vecteurs ?

  • \vec{v_1}\vec{v_2}=\vec{v_1}\wedge\vec{v_2}-\vec{v_1}.\vec{v_2}

La multiplication de deux vecteurs est égale au produit vectoriel moins le produit scalaire de ceux-ci.

Propriétés des quaternions

Quel est le produit de deux quaternions ?

  • \vec{q_1}\vec{q_2}=(a_1+b_1.\vec{i}+c_1.\vec{j}+d_1.\vec{k})(a_2+b_2.\vec{i}+c_2.\vec{j}+d_2.\vec{k})
    Où :
  • \vec{q_1}\vec{q_2}=(a_1+\vec{v_1})(a_2+\vec{v_2})

… démo …

  • \vec{q_1}\vec{q_2}=(a_1a_2-\vec{v_1}.\vec{v_2})+(\vec{v_1}\wedge\vec{v_2}+a_1\vec{v_2}+ a_2\vec{v_1})

L’inverse ?

Par définition le complexe conjugué de q est :

  • \vec{q}^{*}= a-\vec{v}

Par définition l’inverse de q est :

  • \vec{q}^{-1}=\frac{a-\vec v}{a^2+\Vert\vec{v}\Vert^2}

Comment effectuer une rotation ?

Quelle rotation faisons nous ?

Soit un vecteur unitaire \vec u . Nous posons l’opérateur rotation \vec q autour du vecteur \vec u d’un angle \varphi . C’est à dire que nous faisons tourner le vecteur \vec r autour de \vec u . Ce qui donne le vecteur \vec{r^{\prime}} .

Alors :

  • \vec q = cos(\varphi/2)+sin(\varphi/2).\vec u est une rotation d’un angle \varphi telle que :
  •  \vec{r^{\prime}}=\vec{q}^{-1}~\vec{r}~\vec{q}

Qui est le même concept mathématique qu’en techniques matricielles.

Comment effectuer une rotation de 90° par rapport au vecteur j ?

Affichage en 3D

rotation par Quaternion de 90° selon l'axe j

Rotation par Quaternion de 90° selon l’axe j – @ Cipria-2017.

Comment effectuer les calculs par multiplication Matlab ?

Programme Matlab

Rotations automatiques par pas de 45° autour de l’axe j

Vue en perspective.

Rotations par Quaternion de 45° autour de l'Axe j

Rotations par Quaternion de 45° autour de l’Axe j – @ Cipria-2017.

Rotation 3D de la vue une fois les vecteurs tracés

Quaternion - Vue 3D d'une série de rotations de 45° autour de l'axe j

Quaternion – Vue 3D d’une série de rotations de 45° autour de l’axe j – @ Cipria-2017.

Rotations des vues 3D des quaternions autours de k

Quaternions de l'axe k - Rotations de vues 3d

Quaternions de l’axe k – Rotations de vues 3d – @ Cipria-2017.

Où est situé le plan de l’angle de rotation ?

Les mesures des angles de rotations s’expriment dans le plan perpendiculaire à l’axe de rotation. Comme l’axe de rotation dans cet exemple est \vec j alors l’angle s’exprime dans le plan i et \vec k .

Attention ! Les vecteurs résultats du calcul ne sont pas dans ce plan perpendiculaire !

Développement vers une formule connue ?

Quelle rotation faisons nous ?

Soit un vecteur unitaire \vec u . Nous posons l’opérateur rotation \vec q autour du vecteur \vec u d’un angle \varphi . C’est à dire que nous faisons tourner le vecteur \vec r autour de \vec u . Ce qui donne le vecteur \vec{r^{\prime}} .

Alors :

  • \vec q = cos(\varphi/2)+sin(\varphi/2).\vec u est une rotation d’un angle \varphi telle que :
  •  \vec{r^{\prime}}=\vec{q}^{-1}~\vec{r}~\vec{q}

Qui est le même concept mathématique qu’en techniques matricielles.

Développement de la transformation

… en développant, développant et utilisant la formule de multiplication de deux vecteurs … … …

  •  \vec{r^{\prime}}=cos(\varphi).\vec{r}+(1-cos(\varphi))(\vec{r}.\vec{u})\vec{r}+ sin(\varphi)(\vec{u}\wedge\vec{r})

Qui est la formule de rotation de O. Rodrigues.

CQFD

Donc :

Démonstration de la formule de rotation de Olinde Rodrigues

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Références

Mise en pratique Hardware

Concepts en physique mathématique

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Jean-Paul Cipria
08/11/2016

If you succeed to use result demonstration in enterprise then you are an engineer.
Are you an engineer in your big society ?

Jean-Paul Cipria

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2 Comments

  1. alex depreux dit :

    Ce site est génial j’ai appris plein de chose pour mes devoirs

  2. Jean-Paul dit :

    Cher petit fils et HP reconnu précocement,

    Tu as 12 ans et tu as pigé en 10 mn, les repères orthogonaux, les vecteurs qui tournent, les points de vues en 3D et les projections sur différents plans.

    Je crois moi aussi que ce site est génial 😉 mais je ne pense pas que tes devoirs de 5ième vont s’en ressentir. A mon avis tu ne feras pas d’espace vectoriel avant ta première année de fac dans … 6ans sauf si par chance tu sautes une ou deux classes ?

    Les bidules qui tournent dans cet article sont destinés aux Bac+3.

    Bisous
    Paulo

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