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Navigation 9 – La Route Orthodromique

Written By: Jean-Paul Cipria - Juin• 15•16

Comment calculer son cap en conservant la distance la plus courte sur Terre ?

Calculer sa route comme un pilote de 1927 ou comme un ingénieur navigateur de 2016 ?

Compétences de scientifiques

C’est un montage de physique appliquée de niveau L2 avec la démonstration en trigonométrie sphérique mais applicable à partir de la première scientifique ou technologique juste avec les formules et la méthode. Nous ne revenons plus sur le coté indispensable de se géolocaliser (GPS, Stations spatiales, Navires, flottes, localisation de neutrino ;-).

Simplicité de programmation

Nous avons fait les démonstrations en trigonométrie sphérique (1). Il reste à faire les calculs sous Matlab, correctement. Le sujet est assez difficile sans ajouter des complexités régressives comme le C++ ? Et encore nous pourrions simuler ces calculs sous Excel sans aucun problème.

(1) : http://www.nanotechinnov.com/navigation-1-2-position-astronomique-sur-terre

Utilisation des outils (de Béotiens) d’aujourd’hui ?

Afin de « montrer », donner du sens, comme diraient nos collègues pédagogues, aux futurs ingénieurs navigateurs ou pilotes nous pouvons utiliser assez facilement G. Map et déterminer, assez difficilement, son incertitude de distance (et d’angle ou cap de route !). Son incertitude en angle est faramineuse si l’on veut naviguer puisque ce n’est pas une projection gnomonique. Nous verrons un exemple d’un type de carte datant de  … 1927 et utilisé par … Lindberg Paris-New-York – 1927.

Vérification de G. Map Longue Distance

Carte G. Map

Route Paris vers Statue de la Liberté - Google Map

Route Paris vers Statue de la Liberté – G. Map

Courbe spéciale ou carte spéciale ?

Nous voyons sur cette carte que la mesure de distance entre deux points séparés par plusieurs milliers de kilomètres suit une route orthodromique. C’est à dire qu’elle suit la  trajectoire la plus courte d’un point à un autre sur une sphère. Visiblement, en zoomant, le logiciel trace une suite de droites qui forme un arc de cercle vu de loin ? La trajectoire correcte « effleure » l’Irlande alors que nous aurions cru devoir passer bien plus au sud ! C’est un effet de la déformation des angles du à la projection de la sphère terrestre sur ce type de carte. Cette carte n’est donc pas adaptée à la navigation longue distance aérienne, ou maritime.

La trajectoire la plus courte ?

La détermination de la trajectoire la plus courte se fait par trigonométrie sphérique – nous calculons de deux manières différentes le produit scalaire de deux vecteurs et, quelques astuces de projections perpendiculaires plus tard, nous trouvons les deux fameuses formules trigonométriques.

Spherical Trajectory - ©Jean-Paul Cipria 2017

Spherical Trajectory – ©Jean-Paul Cipria 2017

Navigation 13 – Spherical Position and Local Plan – Spherical Trajectories ?

Dans tous les autres cas (non sphérique) il faut utiliser, par exemple, la méthode de Lagrange pour optimiser une trajectoire selon un ensemble de contraintes. Voir entropie, images médicales, densités de spins, trajectoires, courbe brachistochrone … etc.

Calcul Matlab

Navigation_16_06_15.m 
% Lieu 1 : Latitude et Longitude en degré d'angle
Lat1Degre = 48.853311;
Long1Degre = -2.349089; % Si Est alors Négatif
% Lieu 2 : Latitude et Longitude en degré d'angle
Lat2Degre = 40.714666;
Long2Degre = 74.006704; % Si Est alors Négatif

Résultat :
15-Jun-2016 - 19:19
Lieu 1 = 48.8533  -2.34909 % France - Paris - Notre Dame
Lieu 2 = 40.7147  74.0067 % USA - New-York - Statue de la Liberté.
Mile Nautique = 1.85195 Nautiques
Distance = 3149.65 Nautiques    ou  5832.99 km
Cap de départ = -68.2 ou 291.8
Cap d'arrivée = -53.7 ou 216.3

Précisions de Distances

  • Distance = 5833 km
  • G. Map : 5841 Km
  • Incertitude Longue Distance sur G. Map = 8 km.
  • Incertitude relative Longue Distance sur G. Map = 0,14%

Nous ne tenons pas compte de la hauteur, ou altitude de vol, ni du géoïde 1984 par contre nous modifions de façon linéaire la définition du mile nautique de l’équateur au pole nord (au lieu de modifier le rayon terrestre).

D’autres mesures à courte distance de l’ordre du km montre une incertitude de 0,5 m par calcul et par prise des références écrites Latitude et longitude ainsi qu’une erreur de plusieurs mètres, 3 à 5 m, en pointage à la souris.

Une comparaison POSITION de GPS de mobile à POSITION de carte G. Map montre une erreur de 32 m.

Ceci ne certifie en aucun cas que les lieux positionnés G. Map en Latitude-Longitude (Hauteur) soient bonnes. C’est à dire précises au mètre près et que le coin de votre immeuble corresponde effectivement (+-1 m à +-5 m) aux données fournies par G. Map. Les biais, décalages, zooms doivent agir défavorablement à la précision. De même les cartes papiers sont censées être précises à 1 m près. Le décalage tectonique agit de 10 cm tous les 10 ans.

Route Orthodromique – Carte Gnonomique – 1925

Carte « Great circle sailing chart of the atlantic ocean – 1925 »

Carte Atlantique-Gnomonique-Orthodromique-6778-1925

Carte Atlantique Gnomonique-Orthodromique – 1925

Utilisation à la navigation aérienne « à la carte » et compas magnétique en 1927

Charles Lindbergh (1902–1974) fut l’aviateur américain qui réalisa le premier vol en solo et sans escale au-dessus de l’océan Atlantique le 21-22 mai 1927. Il s’agit de la projection gnomonique à laquelle il fait référence comme étant la « pépite d’or » qu’il trouva dans un magasin de San Pedro, Californie, lors de la préparation de son vol transatlantique. Ce fut cette carte qui permit à Lindbergh de déterminer rapidement et avec précision les latitudes et longitudes du grand cercle lorsqu’il traça sa trajectoire. L’annotation inscrite sur la carte indique : « Utilisée pour le traçage de la route orthodromique du vol reliant New York à Paris. San Diego, Calif. 1927. C.A.L. ». Dans son livre de 1953, The Spirit of St. Louis, Lindbergh décrit l’utilisation de cette carte : « Mes problèmes de navigation ont commencé à s’éclaircir. J’ai découvert, inscrit sur les cartes que j’ai achetées, des instructions détaillées permettant le tracé de ma route orthodromique. Grâce aux instruments que m’a prêtés Hall, j’ai tracé une ligne droite entre New York et Paris sur la projection gnomonique. J’ai ensuite transféré les points de cette ligne, selon des intervalles de cent miles, sur la projection de Mercator et j’ai ensuite connecté ces points à l’aide de lignes droites. Pour chaque point, j’indique la distance par rapport à New York et le cap magnétique jusqu’au prochain changement d’angle. » Citation Bibliothèque Numérique Mondiale.

Nous faisons comme Lindberg ?

De la trigonométrie sphérique à la quantité d’information d’une zone de cerveau ?

Et oui, la physique n’a pas changé depuis 1927. Comme G. Map est une projection de Mercator, nous nous retrouvons à résoudre le même problème de physique géométrique qu’il y a 90 ans. Que cela ne vous inquiète pas, la méthode de Lagrange date de 1870 ! Et nous nous en servons pour calculer, avec difficulté il est vrai, des entropies de structure(s) de cerveau … en 2016 !

Efficience informatique 2016 ?

Nous venons de calculer la route la plus courte entre deux points sur terre et affecter cette trajectoire, centaine de miles par centaine de miles sur une carte de Mercator G$$gle. C’est la « méthode.mesure » de G. Map, en langage objet, probablement exécuté java client, qui effectue ce calcul, précis à 0,14% près. C’est pas mal ! Encore faudrait-il cette fois-ci évaluer les ressources informatiques utilisées pour arriver à ce petit calcul trigonométrique aujourd’hui alors que nous le faisions à la calculatrice de poche en navigation hauturière dans la marine nationale en … 1980 ; mais aussi … au LORAN, à la Centrale de Cap et de Verticale (CCV) et par triangulation radar. La ceinture et les bretelles, en plus du parachute. La marin est prudent. … et puis en absolu et en relatif par calcul de point d’approche (CPA). Ceci, c’est juste pour notre position géométrique. 😉

De l’importance des transformations … mathématiques ?

Vous me diriez Lindberg, en 1927, se grattait la tête sans savoir calculer son cap aux tables ? Ce n’est pas un marin et de plus, en vol, il doit tenir sa carte les deux mains et tenir simultanément son manche à balai coincé entre ses deux genoux, un crayon tenu sur le bout des lèvres. Alors, utiliser une règle Cras pour estimer son nouveau cap ? Heureusement il découvre miraculeusement une carte dont la « transformation » … mathématique est « lisible » par ses compétences de pilote. A ce sujet je vous convie à scruter avec attention les « cartes » de densité de spins, de l’article sur la méthode de l’entropie maximale.

From Maximal Entropy Method to Bayesian Inference in Neurosciences – MATLAB Simulation

Un cerveau formé objet.methode.mesure ou Lindberg ?

Qui comprend et réfléchit le plus ? Qui est le plus « capable » ? Qui rassemble des compétences d’ingénieur ? Un Béotien clinquant ou un Lindberg ?

Références

Les 9 compétences du navigateur

  • http://www.nanotechinnov.com/navigation-astronomique-9-la-route-orthodromique
  • http://www.nanotechinnov.com/navigation-astronomique-8-spatiale-notions-de-point-astronomique-trigonometrie-spherique
  • http://www.nanotechinnov.com/navigation-astronomique-7-0-depression-vraie-distance-et-angle-horizon
  • http://www.nanotechinnov.com/navigation-astronomique-6-2-quiz-gps-positionnement-terrestre
  • http://www.nanotechinnov.com/navigation-astronomique-6-1-gps-precision-localisation
  • http://www.nanotechinnov.com/navigation-astronomique-5-course-du-soleil-widget
  • http://www.nanotechinnov.com/navigation-astronomique-4-calcul-de-position-precision
  • http://www.nanotechinnov.com/navigation-astronomique-3-0-exemple-point-sextant
  • http://www.nanotechinnov.com/navigation-astronomique-2-localisation-sextant-simulation
  • http://www.nanotechinnov.com/navigation-astronomique-1-position-sur-terre
  • http://www.nanotechinnov.com/navigation-astronomique-0-2-ellipses-paraboles-et-hyperboles
  • http://www.nanotechinnov.com/navigation-astronomique-0-1-forces-centrales-loi-des-aires

Bibliothèque numérique : Carte Gnomonique de Lindberg – 1927

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© Jean-Paul Cipria
Ingénieur-Physicien Senior
16/06/2016

 

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