Engineer's Book

————— PHYSICS – SPACE – ALGORITHMICS ——-

Principes Variationnels 1 – Contravariance – Covariance – Invariance

Written By: Jean-Paul Cipria - Juil• 03•16

Comment savoir si un ensemble de variables généralisées est covariante ?

Contravariance et Covariance

Synthèse Contravariance et Covariance

Synthèse

Définition de la covariance (générale)

La covariance, générale, et non statistique, est la propriété d’un phénomène physique de ne pas varier même si nous le décrivons avec des points de vues différents. C’est l’invariance soit du phénomène physique, soit de la forme d’équation qui le décrit, soit d’une valeur scalaire qui reste constante quelque-soit la « position » ou le point de vue d’un observateur. Ainsi, par exemple, nous pouvons décrire une roue qui tourne avec un système de variables (x,y) ou bien par un autre point de vue (r,\phi) . Il est connu, prévu et prouvé, qu’en physique classique l’énergie cinétique est conservée quelque-soit le référentiel fixe avec lequel on décrit le système. Donc l’énergie cinétique, dans ce contexte, est une valeur scalaire invariante par changement de repère.

Différences avec la covariance statistique

La covariance statistique a peu à voir avec la covariance (générale) en physique. Encore faut-il le dire. C’est fait ! La covariance statistique « numérise », donne une valeur, à l’indépendance de deux variables statistiques. En covariance générale les deux référentiels sont forcément liés puisque nous cherchons les différentielles totales qui lient les deux référentiels.

Quel est le problème à résoudre ?

Nous voudrions bien être tout le temps contravariants ?

Le problème s’expose ainsi : Nous décrivons un système physique par l’intermédiaire de variables à l’état initial. Nous faisons un changement de variables qui est l’état de changement de référentiel final. La « logique » voudrait que nous exprimions les variables finales (qui est le futur système) par l’intermédiaire du système initial que nous connaissons. En ce cas l’écriture des vecteurs est contravariante. Mais …

La plupart du temps nous effectuons un changement de repère cartésien vers polaire et là … cela se complique. Nous nous trouvons avec des arc-tangentes et des racines carrés. Leurs dérivées sont compliquées. Le physicien n’aime pas le compliqué. Par contre il sait résoudre les … difficultés. Nous préférons donc prendre le problème à l’envers. C’est à dire prendre le système futur référentiel comme connus et en déduire le système présent ou covariant. Ce qui a causé un grand nombre de flous artistiques à nombre d’étudiants. C’est pour simplifier les dérivées partielles qui restent en sinus et cosinus que nous prenons le problème du futur référentiel vers le présent ! Rassurez-vous, nous fûmes aussi du lot ! Mais cela n’a pas dérangé beaucoup Einstein (voir tenseurs). Sans aucun doute nous n’avons pas son génie. Voici donc un petit tableau de synthèse.

Prérequis : La sommation selon Einstein

Sommation-Einstein-Exemple

Sommation-Einstein-Exemple

Tableau de synthèse

Contravariance et Covariance

Contravariance et Covariance

Exemple Matlab

B.3.2 Exemple Matlab 1

% Produit scalaire de deux vecteurs
% ----------------------------------
x1 = [1 1]
ans : 1 1 % Ligne

x2 = [1;1] % colonne
ans : 1
      1

x1*x2 % Produit scalaire
ans 2

% Transposée de x
% ---------------
x = [2 2]
ans 2 2   % Ligne

x'        % Transposé de x : Colonne
ans 2
    2

% Produit scalaire
% ----------------
x*x'
ans 8

Fin d’exemple

Références

.

Jean-Paul Cipria
03/07/2016

You can follow any responses to this entry through the RSS 2.0 feed. You can skip to the end and leave a response. Pinging is currently not allowed.

Laisser un commentaire

Votre adresse de messagerie ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *

Anti-Spam Quiz: