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PSA 10 – Lagrangien, Hamiltonien et Crochets de Poisson

Written By: Jean-Paul Cipria - Déc• 06•16
Crochet de Poisson de l'Observable A

Le Crochet de Poisson de l’Observable A détermine les variations de A en fonction des coordonnées autres que le temps … quand le temps varie ! C’est difficile la physique ? … Oui !

Conséquences du Principe de Stationnarité de l’Action 10 (PSA 10)

Comment sont reliés le Lagrangien et l’Hamiltonien ?
Comment varie une observable de la physique en fonction de l’Hamiltonien ?
Comment évaluer la dérivée totale par rapport au temps en fonction du … temps, de la position q (ou x) et de l’impulsion p ou de l’énergie H du système ?

Voici une façon très pratique de définir comment varie … une variable en fonction de son « contexte ». Comme nous aimons beaucoup l’espace-temps, allons-y ? Une mesure va dépendre de son contexte qui va être, par exemple et très-très souvent, l’espace et le temps. C’est un minimum ! Nous y associons aussi la variation de cet espace et de ce temps. Donc nous évaluons notre variable de mesure avec les variations de son contexte.

Attention, nous ne passons pas pour rien en variables généralisées ! Nous affirmons espace-temps mais aussi, pourquoi pas, humidité relative, condensation d’atomes froid, variations de spin … etc. Nous remplaçons alors allégrement (x,y,z,S,p) par (q_1,q_2,q_3,q_4,q_5) et leurs variations par rapport à t (\dot x,\dot y,\dot z,\dot S,\dot p) par (\dot q_1,\dot q_2,\dot q_3,\dot q_4,\dot q_5) . Que nous remplaçons (Notation d’Einstein) par (q_i,\dot q_i) . Dans le reste du document nous oublions les indices. Qu’il suffit de rétablir dès que l’envie se fait sentir !

Created :2016-12-06 19:59:43. – Modified : 2016-12-31 13:10:40.

Qu’est-ce qu’un Lagrangien ?

 

crochet-poisson-1

Qu’est-ce qu’un Hamiltonien ?

crochet-poisson-2

Quelles sont les Dérivées Partielles de l’Hamiltonien ?

Rectification : La formule (20) est -v.dM/dt -m.a

\frac{\partial H}{\partial q} ~=~ -v.\frac{\partial m}{\partial t} ~-~ m.a

crochet-poisson-3

Relier Observable et Crochet de Poisson ?

Rectification : La formule (28) l faut changer le signe moins en signe plus !

crochet-poisson-4

Comment calculer la variation de l’observable ?

crochet-poisson-5
Attention ! Crochet de Poisson et Coordonnées Communes ? Pourquoi cela ne fonctionne pas en dehors d’une hypothèse ?

Qui vous a déjà expliqué cela clairement ? SI la variable q ne dépend pas explicitement du temps alors le coup du crochet est valable … SINON ? La formule indicée par le mot « bizarre » s’applique.

Crochet de Poisson et Coordonnées Communes - Hypothèse de départ !

Crochet de Poisson et Coordonnées Communes – Hypothèse de départ !

Jean-Paul Cipria
06/12/2016

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One Comment

  1. abonne dit :

    Le potentiel d’interaction forte est :
    g est une constante de couplage
    $latex mc^2=g\frac{exp(r/r0)}{r} $
    r0 est une portée d’interaction

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