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Tenseurs et équations de Maxwell

Written By: Jean-Paul Cipria - Oct• 21•10
Equation de Maxwell - Calculs par les Tenseurs

Équations de Maxwell – Calculs par les Tenseurs

Cet article de 2010 est un travail ou essai destiné à la préparation au Master de Physique obtenu en 2012. Il aborde des sujets difficiles en partant des hypothèses pré-requises pour aboutir logiquement aux équations de Maxwell. Celles_ci sont obtenues grâce aux dérivations spatio-temporelles adéquates d’un tenseur spécialisé.
Jean-Paul Cipria – 31/03/2018

.

Le calcul tensoriel permet de simplifier 😉 la résolution des problèmes de mécanique, d’électronique et de physique à plusieurs dimensions. Un tenseur est une matrice qui permet de représenter un phénomène physique dans une base donnée puis de représenter celui-ci dans une autre base peut-être plus « évidente » pour le physicien. De plus le tenseur particulier présenté ici s’exprime dans une base indépendante du référentiel. Ici, dans ce cas particulier, nous ne raisonnons que sur ce qui est invariant par rapport à tous les référentiels physiques. Les tenseurs sont des cas particuliers de matrice. Une matrice est un tableau de nombres tout à fait général. Par contre un tenseur dépend du système de coordonnées dans lequel il est exprimé. Ainsi nous définissons pour celui-ci les lignes et les colonnes qui prennent un sens suivant l’espace (dual) dans lequel on l’exprime.

The tensor calculus simplifies the troubleshooting of mechanical, electronics and physics at several dimensions.

Leçon de physique.
Cahier d’agrégation n°8 –  jeudi 20/03/2014 – Equations de Maxwell : Lois locales et intégrées ou générales.

Création : 21 octobre 2010. Bibliographie réf. [ANGOT].
23/11/2010 – Complément des équations de Maxwell avec les relations H et B et E et D. ==> Apparition des constantes µ et ε donc 1/c².
08/07/2014 :
Correction des tableaux tenseurs – Ajout de références et cours sur les tenseurs.
12/12/2014 : Symbole d’antisymétrie.

Avant propos

Les tenseurs

Les tenseurs sont des sortes de matrices. Et donc le calcul matriciel s’applique parfaitement à ces objets mathématiques. Pour simplifier ceci permet par exemple de résoudre un système de quatre équations à quatre inconnues en manipulant de façon semi-automatique des tableaux de nombres. Ce qui est assez manipulatoire si la matrice est petite et complètement automatique sous Excel ou Matlab dès que la matrice dépasse l’ordre 3.

Je vous propose donc deux tenseurs qui « contiennent » en quelque sorte les équations de Maxwell. Il suffit de dériver d’une façon particulière le premier tenseur et nous obtenons deux équations. Nous dérivons d’une autre manière le deuxième tenseur et nous obtenons deux autres équations.

L’apport du calcul par tenseur est puissant car il associe la calcul pratique des matrices avec le calcul « opérationnel ». Le calcul opérationnel s’apparente aux distributions, par exemple, qui permettent en quelque sorte de remplacer des intégrales assez difficiles à trimballer par une écriture tout à fait sympathique et des propriétés, addition, soustraction, distributivité qui rappellent la maternelle supérieure. Ce qui convient bien aux physiciens qui me ressemblent !

Équations de Maxwell

Rappels

Comme en électromagnétisme, l’induction électrique D est le phénomène généré par le champ électrique E considéré à l’intérieur du matériau. Ce milieu est déterminé par la constante physique ε. Il se peut que les lignes d’inductions électriques D soient « concentrées » à l’intérieur du matériau et que E, champ électrique, soit très nettement modifié à l’extérieur. La quantité d’énergie, par contre, n’est pas modifiée. Il faut donc utiliser en ce cas :

Objet de deux autres articles :

et :

Élément différentiel de distance relativiste

En relativité un élément différentiel d’espace ou de distance est ds² :

  • ds² = dx² + dy² + dz² – c².dt²

Les coordonnées espace-temps sont x, y, z, j.c.t

  • j : nombre complexe avec j² = -1
  • c : Vitesse des ondes électromagnétiques dans le vide.

Note explicative pour un étudiant

Je voudrai rajouter ceci pour Adrien, étudiant en préparation aux concours des  grandes écoles, que cette « équation » laisse dubitatif : Dans le cas classique où les vitesses, les forces gravitationnelles sont faibles par rapport aux forces générées, par exemple, par une charge électrique ou une onde électromagnétique alors :

Un petit élément de distance dans l’espace s’exprime par :

  • ds² = dx² + dy² + dz²

Qui est la généralisation de Pythagore en 3D si l’on veut (!)

Quand les forces ou les effets « relativistes » s’expriment plus fort alors nous introduisons un terme correctif à la variation de  distance – Ce terme est additionné en valeur imaginaire – Et comme d’habitude nous faisons les calculs en imaginaire puis nous « projetons » sur les valeurs réelles quand nous avons besoin de faire une mesure qui correspond à une « réalité » physique abordable. Dans ce cas ce sera le carré de la variation de correction de  distance espace temps est :

  • du² = (j.c.dt) . (j.c.dt) = – c².dt²

Donc :

  • ds²relativiste = ds²classique – c².dt²

Ce qui explique que c’est l’espace qui change et donc les ondes électromagnétiques qui se baladent n’y voient que du feu 😉 et « croient » toujours aller tout droit. Elles se déplacent alors sur une courbe curviligne, qui n’est plus une droite, toujours à la vitesse c. Je paraphrase et cela à un but pédagogique. D’ailleurs il est probable que je me relise, bien plus tard et que je me comprenne mieux ce baratin que les équations ci-dessus 😉

Nous avons donc la correction en distance :

  • du = j.c.dt
    d’où
  • du² = – c².dt²

Tenseurs de Maxwell

Les deux tenseurs de Maxwell

Voici les deux tenseurs d’ordre deux antisymétriques (réf .[ANGOT]) permettant de retrouver les équations de Maxwell  :

Voici Gij :

0 H3 -H2 -j.c.D1
-H3 0 H1 -j.c.D2
H2 -H1 0 -j.c.D3
j.c.D1 j.c.D2 j.c.D3 0

Voici Fij :

0 B3 -B2 -j/c .E1
-B3 0 B1 -j/c .E2
B2 -B1 0 -j/c .E3
j/c .E1 j/c .E2 j/c .E3 0

.

Propriétés

Comme beaucoup de tenseurs décrivant des phénomènes physiques ils possèdent certaines régularités :

  1. Antisymétriques :
    Les coefficients lignes-colonnes sont égaux aux colonnes-lignes :
    Aij = -Aji
  2. La diagonale est égale à 0 :
    Aii = 0
  3. D’ordre deux car la moitié des termes peuvent se retrouver en inversant le signe de l’autre moitié. Le tenseur semble d’ordre quatre mais nous ne possédons que deux ensembles indépendants.

Formules générales tensorielles dans MKSA

En relativité la densité de courant J dépend des trois coordonnées suivant l’espace classique et la quatrième dépendante de \rho ou densité de charge électrique et c la vitesse des ondes électromagnétiques dans le vide.
Les coordonnées de J sont :

  • J_1, J_2, J_3, J_4=j.c.\rho
    .

Nous retrouvons les équations 1 et 2 de Maxwell avec :

  • Ji = ∑j=1j=4Gij/∂xj

Nous retrouvons les équations 3 et 4 de Maxwell avec :

  • Fij/∂xk+ ∂Fki/∂xj+ ∂Fjk/∂xi= 0

.

Équations de Maxwell

1. Variables des Équations de Maxwell

  • ρ : Densité de charges électriques. Coulomb/m3.
  • H : Champ magnétique.
  • B : Induction magnétique.
  • E : Champ électrique. Volts/m.
  • D : Induction électrique.
  • J : Densité de courant.

2. Équations Maxwell dans le système MKSA Giorgi
(Mètre, Kilogramme, Seconde, Ampère)

  • D = ε . E
  • B = µ . H
  1. rot B = µ . ε . ∂E/∂t + µ . J
    rot B = (1/c²).∂E/∂t + µ . J
    rot H = ε . ∂E/∂t + J
    rot H = ∂D/∂t + J
  2. div E = ρ/ε
    div D = ρ
  3. rot E = -∂B/∂t
  4. div B = 0

.
3. Rappel Maxwell par le système mixte de Gauss.

  1. rot H = 1/c . ∂D/∂t + 4¶/c. J
  2. div D = 4¶.ρ
  3. rot E = – 1/c . ∂B/∂t
  4. div B = 0

Démonstration

Démontrons les équations 1 et 2 de Maxwell

  • Ji = ∑j=1j=4Gij/∂xj

Calcul du premier élément de J

  • J1 = ∑j=1j=4G1j/∂xj
  • J1 = ∂G11/∂x1 + ∂G12/∂x2+ ∂G13/∂x3+ ∂G14/∂x4
  • J1 = ∂0/∂x1 + ∂H3/∂x2 – ∂H2/∂x3 – jc ∂D1/∂jct
  • J1 = ∂H3/∂x2 – ∂H2/∂x3 –  ∂D1/∂t
    Et par définition du rotationnel
  • J1 = rotx1H – ∂D1/∂t

D’où :

  • rotx1H = J1 + ∂D1/∂t

CQFD pour la première équation.

Une démonstration similaire montrerait que :

  • rotx2H = J2 + ∂D2/∂t
  • rotx3H = J3 + ∂D3/∂t

D’où

  • rot H = J + ∂D/∂t

.

Calcul du quatrième terme de J :

  • J4 = ∑j=1j=4G4j/∂xj
  • J4 = ∂G41/∂x1 + ∂G42/∂x2+ ∂G43/∂x3+ ∂G44/∂x4
  • J4 = ∂jcD1/∂x1 + ∂jcD2/∂x2+ ∂jcD3/∂x3+ 0
  • J4 = jc. [ ∂D1/∂x1 + ∂D2/∂x2+ ∂D3/∂x3 ]
    Et par définition de la divergence :
  • J4 = jc. div D

et

  • J4= j.c.ρ
  • jcρ = j.c. div D
  • div D = ρ

CQFD pour la deuxième équation.

Démontrons les équations 3 et 4 de Maxwell

A faire 😉

  • Fij/∂xk+ ∂Fki/∂xj+ ∂Fjk/∂xi= 0

Equation de propagation déduite de Maxwell

  • \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{x^2}}-\frac{1}{\mu.\epsilon}\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}}+\frac{1}{K}.E=0
    .

La solution est une fonction de Bessel si K est différent de 1.

.

——————————

.

Exemple de tenseurs en physique

Champs électromagnétique par déplacement de référentiel

Si le référentiel R’ se déplace à la vitesse V par rapport à celui d’origine ou de mesure R alors :

  • E‘ = E + V Λ B
  • B‘ = B

C’est à dire que le champ électrique E est modifié par la vitesse relative V qui agit par le produit vectoriel de l’induction magnétique B. L’induction magnétique B est inchangée.

Propriétés diélectrique d’un cristal

Les milieux cristallins sont en général anisotropes. M. Voigt est le concepteur de ce type de calculs. Comparons l’induction électrique D et le champ électrique E en un point d’un milieu isotrope et un autre anisotrope :

Anisotrope : Milieu qui ne possède pas les même propriétés physiques quand on change de direction.

Milieu Isotrope

  • D = ε . E

L’induction électrique D est de même direction que le champ électrique E.

Milieu Anisotrope

  • Di = ∑j=1j=3 εij. Ej

Di s’exprime dans un espace de dimension 3. L’induction électrique D, dans la direction i, dépend des caractéristiques fixées par εij et des impacts des champs électriques Ej dans les autres directions j.

Symbole d’antisymétrie \epsilon^{i,j,k}

εij est le tenseur ou symbole d’antisymétrie dit de Levi-Civita. Il permet d’assurer le signe des objets mathématiques lorsque nous permutons les indices des tenseurs i, j, k.

Voir : http://mathematique.coursgratuits.net/calcul-tensoriel/notation-indicielle.php
.

  • \epsilon^{i,j,k}=0 : Si un des termes est égal à un autre.
    .
  • \epsilon^{i,j,k}=1 : Si les permutations de i, j, k sont paires par rapport à l’ordre initial.
    .
  • \epsilon^{i,j,k}=-1 : Si les permutations de i, j, k sont impaires par rapport à l’ordre initial.
    .

Composantes « contravariantes »

  •  \vec{u}=x^i.\vec{e_i}
    .

Composantes « covariantes »

  •  x^i=\vec{u}.\vec{e_i}
    .

______________________

.

Tenseur de rotation de φ autour de l’axe j=1 ou Ox

.

1 0 0
0 cos φ sin φ
0* -sin φ cos φ

.

Le vecteur OM(x, y, z) tourne d’un angle φ autour de l’axe j=1 ou OX

  • OX’ = ex
    OY’ = cos(φ).ey + sin(φ).ez
    OZ’ = -sin(φ).ey + cos(φ).ez

.

1 0 0 ex
0 cos φ sin φ cos(φ).ey + sin(φ).ez
0* -sin φ cos φ -sin(φ).ey +  cos(φ).ez

* : Il y a un 1 dans ce tenseur selon la référence 1. Ceci est surement une coquille dans le livre car il n’y a aucune raison qu’il y ait une contribution de l’axe x dans ceux de y et z puisque le tenseur tourne autour de cet axe x ! Je me permets donc de corriger, avec toute la modestie qu’il faut, cette erreur. Avec mes respects et toute mon admiration dus aux physiciens émérites : M. De Broglie et M. Angot.

.

Ondes gravitationnelles – expérience Virgo 6

6 : Cet article, qui m’a demandé beaucoup de travail, n’est pas en lecture pour les non abonnés.
——-  L’expérience Virgo – Mesure d’ondes gravitationnelles – Article Engineer Book.

L’onde gravitationnelle se propage comme une onde plane sur le Michelson et change l’espace du bras L1 dans sa première demi-période, puis l’espace du bras L2 dans la seconde. Sur une période d’onde gravitationnelle nous pouvons mesurer la différence de marche entre les deux bras donc :

  • Dm = k.(2.l2 – 2.l1).

L’influence de l’onde gravitationnelle sur le trajet laser avant l’entrée sur la médiatrice n’influence pas la figure de diffraction puisque la modification s’effectue sur le faisceau de référence – même raisonnement sur le faisceau sortant et la photodiode.

Une remarque la correction de temps est … imaginaire ! Et oui, d’où l’intérêt, vois-tu de faire les calculs d’onde en exponentielle complexe :

  • ei(w.t – k.r)

plutôt qu’en :

  • cos (w.t – k.r)

.

Jean-Paul Cipria – © octobre 2010

.

______________________

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English Translation

Recalls

I. Tensor and Maxwell’s equations

II. Dielectric properties of a crystal

III. Tensor rotation φ around the axis Ox j = 1 or

Recalls

As in electromagnetism, the electric induction D is the phenomenon generated by the electric field E within the considered materials. This medium is determined by the physical constant ε. It may be that the lines of electric induction D are « concentrated » within the material and E, electric field, is very much changed on the outside. The amount of energy, cons, is not changed. So use in this case conservative flows, in two other articles here and there.

.

I. Tensor and Maxwell’s equations

In a differential element of relativity space is ds ²:

  • ds² = dx² + dy² + dz² – c².dt²

Space-time coordinates are x, y, z, jct

  • J: complex number with j ² = -1
  • C: speed of electromagnetic waves in vacuum.

1. Here are the two antisymmetric tensors of order two to find the Maxwell equations

0 H3 -H2 -jc.D1
-H3 0 H1 -jc.D2
Gij H2 -H1 0 -jc.D3
jc.D1 jc.D2 jc.D3 0

.

0 B3 -B2 -j/c .E1
-B3 0 B1 -j/c .E2
Fij B2 -B1 0 -j/c .E3
j/c .E1 j/c .E2 j/c .E3 0

.

2. Maxwell equations

  • Ρ: density of electric charges.
  • H: Magnetic field.
  • B: magnetic induction.
  • E: electric field.
  • D: Induction Electric.
  • J: Current density.

3. Maxwell by MKSA Giorgi (Metre, Kilogram, Second, Ampere)

  1. rot H = ∂D/∂t + J
  2. div D = ρ
  3. rot E = -∂B/∂t
  4. div B = 0

.
4. Maxwell recall the mixed system of Gauss.

  1. rot H = 1/c . ∂D/∂t + 4¶/c. J
  2. div D = 4¶.ρ
  3. rot E = – 1/c . ∂B/∂t
  4. div B = 0

.
5. Tensor in general formulas MKSA

The coordinates of J are J1, J2, J3, J4 = jcρ

5.1 We find 1 and 2 with:

  • Ji = ∑j=1j=4Gij/∂xj

5.2 We find 3 and 4 with:

  • Fij/∂xk+ ∂Fki/∂xj+ ∂Fjk/∂xi= 0

6. Show 5. 1:
See french demo.
.

7. Demonstration of 5.2

What to do 😉

Jean-Paul Cipria – © octobre 2010

Références

Scientifique

  • [ANGOT] : André Angot – Complément de mathématiques – à l’usage des ingénieurs de l’électrotechnique et des télécommunications – Préface de Louis de Broglie – Edition Masson & Cie – Sixième édition – 1972.
    Page 252 – Forme tensorielle des équations de Maxwell.
    .
  • L’expérience Virgo – Mesure d’ondes gravitationnelles. Article Nanotechinnov.
    .
  • Engineer’s Book : Cours de M. Cohen Tannoudji –  PDF
    .

Cours

Livre - Stéphane Olivier - Physique des ondes - Électromagnétisme et optique

Physique des ondes

Jean-Paul Cipria – © octobre 2010
Correction le 23/11/2010 – Complément des équations de Maxwell avec les relations H et B et E et D. ==> Apparition des constantes µ et ε donc 1/c².
08/07/2014 : Ajout de références et cours sur les tenseurs.

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13 Comments

  1. Pollux dit :

    Relativité d’un champ électrique – Et encore une question ALMMLN 😉

    L’autre jour je me promenais dans un champ électrique tandis que mes cheveux se levaient, non de frayeur mais à cause du champ, électrostatique, celui-là …

    Bref …

    Est-ce que le champ électrique se conserve par déplacement de référentiel ou non ?

    Je repopose la question. Je provoque un champ électrique dans un référentiel 1. Quel est ce champ dans un autre référentiel 2 qui se déplace à la vitesse V inférieure à la vitesse de la lumière ?

    Dans ce cas que se passe t-il ?
    Un autre champ nait-il ?
    Varie t-il suivant la vitesse V ?

    Pour les savants : Y a t-il un champ invariant relativiste ?

    Arrrrrhhhhhhhhhh ?

    Ce sont des questions de niveau terminale auxquelles personne, mais vraiment personne, n’a rien compris. Et pourtant on continue à faire de jolis calculs en relativité générale sans le savoir. Comme quoi !

    Cordialement.
    Jean-Paul Cipria

  2. Larry Covert dit :

    Bonjour Jean Paul

    Un petit rappel pour une question me semble t-il mal posée (champ invariant relativiste ?) :

    Le courant, et par conséquent le champ magnétique, sont modifiés par le changement de référentiel
    Lien : http://www2.cndp.fr/themadoc/Einstein/Fen3magnetique.htm

    Autre approche intéressante :
    Lien : http://wapedia.mobi/fr/%C3%89quation_de_Maxwell

    Les équations de Maxwell, aussi appelées équations de Maxwell-Lorentz, sont des lois fondamentales de la physique.
    Elles constituent les postulats de base de l’électromagnétisme, avec l’expression de la force électromagnétique de Lorentz.

    Ces équations traduisent sous forme locale différents théorèmes (Gauss, Ampère, Faraday) qui régissaient l’électromagnétisme avant que Maxwell ne les réunisse sous forme d’équations intégrales.
    Elles donnent ainsi un cadre mathématique précis au concept fondamental de champ introduit en physique par Faraday dans les années 1830.

    Ces équations montrent notamment qu’en régime stationnaire, les champs électrique et magnétique sont indépendants l’un de l’autre, alors qu’ils ne le sont pas en régime variable.

    Dans le cas le plus général, il faut donc parler du champ électromagnétique, la électrique/magnétique étant une vue de l’esprit.

    Cet aspect trouve sa formulation définitive dans le formalisme présenté dans la seconde partie de cet article (voir lien proposé) : le champ électromagnétique y est représenté par un être mathématique unique : le tenseur électromagnétique, dont certaines composantes s’identifient à celles du champ électrique et d’autres à celles du champ magnétique.

    Voilà et merci pour ces quelques révisions déjà lointaines.

    Bonne journée

    Larry

  3. Pollux dit :

    Presque bonne réponse :

    Le champ électrique est bien mesurable par l’effet qu’il a sur une charge que l’on place dans son champ et qui provoque une force sur elle : F = q.E. L’intervention du champ magnétique intervient dans certaines conditions dans le tenseur qui lie ces deux champs. Et que se passe t-il ?

    D’ailleurs tenez, j’ai écris il y a quelques jours un article pas du tout lisible pour un terminale mais qui « explique » le coup du tenseur.

    http://www.nanotechinnov.com/tenseurs-equations-maxwell

    Jean-Paul Cipria

  4. Michel R. dit :

    Bien le bonjour Monsieur Jean-Paul,

    Chacun sait qu’un champ magnétique nait des charges en mouvement, le champ d’excitation c’est des nI (ou des ampères tours). Il est donc dépendant du repère dans lequel on l’observe. En effet un courant c’est des charges en mouvement et chacun sait que le mouvement est relatif au référentiel.

    A l’inverse, un champ électrique ne dépend que de la distance entre le lieu d’observation et la charge. Cette distance ne dépend pas du repère choisi. Le champ électrique dérive du potentiel, en d’autres termes le champ entre deux plaques soumises à une ddp c’est cette ddp divisée par la distance entre plaques (en volts par mètre). Si la manip consiste à se déplacer dans un espace où le champ est uniforme, il ne se passera rien de particulier. Les effets sont identiques partout et ne dépendent pas de la vitesse de déplacement.

    Donc pour moi la réponse à la question est rien.

    Je sais que ma réponse ne vous convient pas et que vous attendez des grandes discutions sur le champ électromagnétique et les transformations de Lorentz.

    Je fais l’âne exprès car ce sujet m’a opposé à un auteur sur wikipédia qui considère ces grandeurs physique (E et H) comme des intermédiaires de calcul sans grande signification physique. Je ne suis évidement pas d’accord avec lui : Si une grandeur de la nature provoque des effets mesurables alors, pour moi, il s’agit d’une grandeur aussi noble qu’une autre comme le champ électromagnétique qui, pour moi, est une troisième quantité distincte des deux premières.

    Voyez l’historique de la page électromagnétisme de wikipédia. Vous pouvez voir ces gens sont têtus on trouve encore un joyeux mélange entre de l’indiction magnétique qui est un phénomène local non rayonnant et de l’électromagnétisme. Personnellement je pense qu’on a affaire des jeunes loups scientistes qui veulent tout unifier évidement le champ électromagnétique c’est joli et ça semble parler de tout ce qui n’est pas vrai !

    Bien cordialement.
    Réponse de Michel R. | Ex ingénieur R&D, ex enseignant, jeune retraité.

  5. Pollux dit :

    @Michel R. :
    BRAVO !!! Vous avez trouvé la réponse !!!

    Le champ électrique varie, en effet, suivant la vitesse de son référentiel. Et celui-ci donne naissance à un champ :

    E‘ = E + V vectoriel B.

    La contribution « relativiste » est, en ce cas, un champ perpendiculaire au plan du vecteur vitesse du référentiel par le champ B. Le champ B par contre ne varie pas suivant la vitesse V et B’ = B. Le champ B est donc invariant par référentiel.

    De plus je suis parfaitement d’accord que le mélange induction et champ sur wikipédia est assez indigeste mais je possède certains bouquins, pour nos étudiants, qui sont fait « à la Française » et qui sont indubitablement imbuvables. Mais c’est très bon, parait-il pour les futurs X ?

    L’induction est, l’effet du champ magnétique, une fois qu’il est dans le matériau, nous avons assez de mal à distinguer deux champs qui se ressemblent mais qui n’ont pas les mêmes unités. L’un étant la « source » (magnétisme) de l’autre (induction) et se mélangeant, allégrement, à l’intérieur du solide. Alors on décompose par B= µ(M+H) pour s’en démer.er. Quel foutoir !!! Va faire comprendre cela aux étudiants ?

    Cordialement.
    Jean-Paul Cipria

  6. Michel R. dit :

    Ajout du 02/11/2010 : C’est bien pour ça que j’ai pris soin de parler de champ d’excitation pour parler de H et qu’on devrait parler de champ d’induction pour parler de B. Dans le temps c’était plus simple car on parlait de champ magnétique uniquement pour désigner le champ d’excitation H, B s’appelait l’induction. Par dualité avec l’électrique où on parle de champ E et pas de champ J, car B n’est que la densité du flux magnétique comme J est la densité du flux électrique. C’était sans doute trop simple ! En s’appuyant sur les lois de Hopkinson et en faisant cette dualité électrique magnétique on apporte un certain éclairage à ces grandeurs physiques. On peut rapprocher mu de la conductibilité électrique. On peut rapproche R = r l /S avec R rond réluctance = 1 / mu l/S.

    Ajout du 02/11/2010 : Comme vous dites la source ou la cause serait H ou E pour l’électrique, ensuite suivant le milieu et sa résistance ou sa réluctance un flux peut s’installer c’est l’intensité du courant ou le flux phi dont la densité surfacique est J pour l’électrique ou B pour le magnétique. Donc pour moi les quantités B et J seraient plutôt des effets.

    Réponse de Michel R. | Ex ingénieur R&D, ex enseignant, jeune retraité.

  7. Bruno R. dit :

    Bonsoir à tous, bonsoir Jean Paul.

    Les équations de Maxwell booouuu dans mon souvenir il n’y en avait que 4 mêlant E, H, B, J. Lorentz un pauvre électricien tandis que Maxwell c’est l’esprit pur. Il n’y a pas moyen de faire quelques simulations ou animations 3D avec Scilab. Je me suis toujours dis que cela devait être extraordinaire de regarder les ondes se déformer à au voisinage des supra-conducteurs.

    Pour vous détendre :
    http://www.sodevlog.fr/Site.dynamique.en.ligne/page/Zone-Flash.aspx
    Mais surtout André Michelle.

    JP, merci pour votre question.
    @tous, merci pour vos réponses.

    Cordialement

    Ajout du 02/11/2010 : @Michel, j’ai plaisir à vous lire, je comprends la façon que vous avez d’expliquer vos objets et je pige facilement le concept de relativité que vous exprimez là. JP, tu dis que c’est en terminale que les élèves jouent avec ça ?

    Ajout du 02/11/2010 : On ne doit pas oublier que par rapport à un référentiel fixe dans l’univers nous tournons actuellement à 40 000 km / 24 heure.
    Réponse de Bruno R. | Gérant, SoDevLog

  8. Pollux dit :

    @Bruno :

    Merci – Nous tournons bien à 40 000 Km/24h pour ceux qui habitent sur l’équateur et moins vite pour les autres. Quand nous mesurons un champ électrique proche nous l’embarquons avec nous. C’est à dire qu’il va aussi vite que nous et donc la formule précédente précise : E’ = E puisque la différence de vitesse V est nulle. Par contre si nous mesurons un champ, électromagnétique, celui-là, provenant d’une étoile nous pourrions calculer ce qu’il est « sur » l’étoile en calculant le déplacement relatif de celle-ci par rapport à nous. Mais ceci est déjà inclus dans les calculs de gravitation qui « dévie » l’onde lorsque celle-ci passe près d’une étoile massique, comme notre soleil par exemple. Les tables astronomiques, depuis 1980, tiennent compte de cet effet.

    Je vais faire quelques simulations sur Matlab pour tripoter le tenseur qui va bien. Je l’ai décrit sur http://www.nanotechinnov.com/tenseurs-equations-maxwell où je me suis tapé la démonstration des deux premières équations. Si je me sens le courage je fais les deux autres. En tout cas, après cela, vous trouverez les rotationnels assez simples et les dérivées partielles comme de simples divisions 😉

    Au secours !

    Jean-Paul Cipria

  9. Michel R. dit :

    Ajout du 02/11/2010 : @ Bruno :

    Eh oui, pas beaucoup de gens ont conscience que nous filons à une vitesse largement supérieure à mach1. Nous tournons à 1666 km/h alors que mach1 = 1224 km/h.

    Avez-vous pensé à la vitesse de la terre autour du soleil ? Sachant que la distance terre soleil est 150 000 000 km ça donne 107 588 km/h. Et la vitesse du soleil dans la Galaxie : 254 km /seconde ! Et en plus ? Les galaxies seraient supposées en expansion, ça veut dire qu’elles s’éloigneraient toutes les unes des autres. A quelle vitesse ? Je ne sais pas, ou plutôt il faut demander à Monsieur Edwin Hubble. Mais je n’y crois pas, au risque de me faire tuer !

    Réponse de Michel R.
    Ex ingénieur R&D, ex enseignant, jeune retraité.

  10. Jean-François Q. dit :

    Euh…. JP, je t’adore, c’est pas ça la question…

    Mais si tu envisages de faire comprendre quelque chose à des étudiants, le mieux, c’est encore que tu te relises avant de poster ! parce que, d’un seul coup, ta légendaire maîtrise de la typo et de la langue réunies vient d’en prendre un vieux coup !

    Réponse de Jean-François Q.
    Ingénieur, A B & C – Analyses Bois et Constructions (BET) – 28

  11. Pollux dit :

    @Jean-François :

    J’avais bien annoncé que cette question était à ranger dans la case « à la MMLN » ? Ce sont des calculs :

    E’ = E + ( V vectoriel B )

    que font les terminales S sans savoir que l’induction magnétique ne change pas quelle que soit la vitesse de l’endroit où nous « regardons » ou mesurons ce champ. Par contre E varie et est différent si nous le mesurons de la Terre, de la lune ou d’un avion. C’est bien un effet relatif qui s’exerce sur un champ et pas sur l’autre. Tout cela se retrouve dans le tenseur qui décrit les équations de Maxwell mais son interprétation est difficile. Je m’exerçais sur vous – pour voir – un ballon d’essai quoi ! A la tienne !

    Jean-Paul Cipria

  12. Michel R. dit :

    Ajout du 06/11/2010 : @ Errata :

    Je viens de me rendre compte qu’une erreur s’est glissée dans ma réponse : Un champ magnétique c’est de nI/l ou des Ampères tours par mètre tout comme le champ électrique est des Volts par mètre. F = nI étant un magnétomoteur tout comme V est un électromoteur, mea culpa !

    J’en profite pour affirmer certaines choses qui ont du mal à être comprises : Ces deux champs sont indépendants l’un de l’autre, même en régime variable lorsqu’il n’y a pas de propagation et ça existe, il y a de nombreuses applications de ce genre comme les fours à induction. Ils sont l’un et l’autre à l’origine de phénomènes physiques bien réels mesurables et reproductibles. Bref ce sont des phénomènes physiques aussi importants que le rayonnement électromagnétique avec lequel ils n’ont rien à voir. J’aurais sans doute l’occasion de m’expliquer là dessus plus tard.

    Réponse de Michel R.
    Ex ingénieur R&D, ex enseignant, jeune retraité.

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